HDU2.1.7 Leftmost Digit

看到这么大的数据，本来第一反应是高精度，但是感觉10亿的10亿次还是会爆的，于是又想了很久，但是实在想不出，于是只好去其他博客里看看解答。

看完了解答真是忍不住拍手喝彩，这就是数学境界的差距。

假设M=N^N，那么题目就是要求M的第一位数字，两边求log（10为底数），于是log(10)M=Nlog(10)N，于是M=10^(Nlog(10)N)，由于10的整数次方必然是1000···0，最高位一定是1，故而是看Nlog(10)N的小数部分，于是取出小数部分P，再求10^P再取整即为最高位的数字。

网上偶然发现的牛人的结题报告，很好懂：

题目大意是输入N，求N^N的最高位数字。1<=N<=1,000,000,000

估计大家看到N的范围就没想法了。

确实N的数字太大，如果想算出结果，即使不溢出也会超时。

题目是这样转化的。

首先用科学计数法来表示      N^N  = a*10^x;    

比如N = 3;  3^3 = 2.7 * 10^1;

我们要求的最右边的数字就是(int)a，即a的整数部分;

OK, 然后两边同时取以10为底的对数     lg(N^N) = lg(a*10^x) ;

化简   N*lg(N)  = lg(a) + x;

继续化   N*lg(N) - x = lg(a)

      a = 10^(N*lg(N) - x);

现在就只有x是未知的了，如果能用n来表示x的话，这题就解出来了。

又因为，x是N^N的位数减一，也可以看成比N^N小并且最接近的100···0的形式中的0的个数。

比如 N^N = 1200  ==>  最接近的是1000，有3个0  ==>  x = 3;    

实际上就是 x 就是lg(N^N) 向下取整数，表示为[lg(N^N)]

a = 10^(N*lg(N) - [lg(N^N)]);

然后(int)a 就是答案了。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		unsigned long long N;
		scanf("%llu",&N);
		double k=N*log10(N)-(unsigned long long)(N*log10(N));
		int res=(int)(pow(10,k));
		printf("%d\n",res);
	}
	return 0;
}