「Codeforces 632F」Magic Matrix

称一个矩阵为魔法矩阵，当且仅当满足一下三点：

1. $\forall 1\le i,j\le n,a_{i,j}=a_{j,i}$
2. $\forall 1\le i\le n,a_{i,i}=0$
3. $\forall 1\le i,j,k\le n,a_{i,j}\le \max (a_{i,k},a_{k,j})$
   询问一个矩阵是否为魔法矩阵
   （$n\le 2500$）

将矩阵抽象成一个有 $n$ 个点 $n^2$ 条边的无向完全图，边权为 $a_{i,j}$。
记 $f_{i,j}$ 表示从 $i$ 出发到 $j$ 的所有路径上最长的边的最小值，显然 $a_{i,j}\ge f_{i,j}$。
根据题意，因为 $a_{i,j}\le \max (a_{i,k},a_{k,j})$，而 $a_{i,k}\le \max (a_{i,l},a_{l,k})$，所以 $a_{i,j}\le \max (a_{i,k_1},a_{k_1,k_2}...a_{k_m,j})$，即 $a_{i,j}\le f_{i,j}$。
所以 $a_{i,j}=f_{i,j}$，这样就只要用 $\mathrm{MST}$ 与 $\mathrm{DFS}$ 就可以在 $O(n^2)$ 判断条件了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define Min(_A, _B) (_A < _B ? _A : _B)
#define Max(_A, _B) (_A > _B ? _A : _B)
#define R register
int n, a[2510][2510];
bool vis[2510]; int dis[2510], from[2510], Point[2510], Next[5010], To[5010], W[5010], q;
void Add(R int u, R int v, R int w)
{
	Next[++q] = Point[u]; Point[u] = q; To[q] = v; W[q] = w;
	Next[++q] = Point[v]; Point[v] = q; To[q] = u; W[q] = w;
}
bool DFS(R int u, R int from, R int pos, R int val)
{
	if(a[pos][u] != val) return 1; 
	for(R int j = Point[u]; j; j = Next[j]) if(To[j] != from && DFS(To[j], u, pos, Max(W[j], val))) return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for(R int i = 1; i <= n; ++i)
		for(R int j = 1; j <= n; ++j)
			scanf("%d", &a[i][j]);
	for(R int i = 1; i <= n; ++i)
		for(R int j = 1; j <= n; ++j)
			if(a[i][j] != a[j][i])
			{
				puts("NOT MAGIC");
				return 0;
			}
	memset(dis, 127, sizeof(dis)); dis[1] = 0;
	for(R int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		R int pos = 0;
		for(R int j = 1; j <= n; ++j) if(!vis[j] && dis[pos] > dis[j]) pos = j;
		if(i > 1) Add(pos, from[pos], dis[pos]);
		vis[pos] = 1;
		for(R int j = 1; j <= n; ++j) if(!vis[j] && a[pos][j] < dis[j])
		{ from[j] = pos; dis[j] = a[pos][j]; }
	}
	for(R int i = 1; i <= n; ++i) if(DFS(i, i, i, 0)){ puts("NOT MAGIC"); return 0; }
	puts("MAGIC");
	return 0;
}