kuangbin专题十四 HDU4990 构造矩阵

最新推荐文章于 2023-03-22 17:08:28 发布

原创最新推荐文章于 2023-03-22 17:08:28 发布 · 287 阅读

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂优化斐波那契数列计算的方法，并提供了具体的C++实现代码。通过推导得出矩阵关系式，进而解决大规模数值计算的问题。

题意：
给你这段代码，然后输入n和mod，让你算出结果。
题解：
n很大，一看就知道要优化，因为这个是矩阵专题。。所以我就想矩阵了。。ORZ真没骨气，还有就是从网上学到了偷懒的工具：http://oeis.org/
这玩意能搜到例子和一些公式，个人感觉，还是不要太依赖为好，要靠自己推，毕竟是acmer….
好了，回归正题怎么知道是要用矩阵去做，怎么推导呢？首先用得到的公式F(n)=F(n-1)+2F(n-2)+1来推出矩阵关系的式子：因为有三个变量（1也算），那么肯定是三阶的矩阵了，就要弄出三条关系式了。接着就是推演了，F(n)=F(n-1)+2F(n-2)+1
F(n-1)=F(n-1)+0*F(n-2)+0
1=0*F(n-1)+0*F(n-2)+1
好，接下来才是重头戏：
这里写图片描述
好了，这就是我的构造过程了。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define LL long long int
LL MOD;
struct node
{
    LL m[3][3];
    node()
    {
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
node cla(node a,node b)//这里可以 node cla(node a,node b,int l) 第三个l表示的是你矩阵的大小，但是这里求斐波那契，只需要2就好了，就不用写了 
{
    node c;
    for(int i=0;i<3;i++)
        for(int j=0;j<3;j++)
            for(int k=0;k<3;k++) 
            if(a.m[i][k]&&b.m[k][j])//剪枝（添条件，设门槛），提高效率，有一个是0，相乘肯定是0
            {
                c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j];
                c.m[i][j]%=MOD;
            }
    return c;
}
LL POW(LL k)
{
    node a,c;
    for(int i=0;i<3;i++) c.m[i][i]=1;
    a.m[0][0]=1,a.m[0][1]=2,a.m[0][2]=1;
    a.m[1][0]=1,a.m[1][1]=0,a.m[1][2]=0;
    a.m[2][0]=0,a.m[2][1]=0,a.m[2][2]=1;
    while(k)
    {
        if(k&1) c=cla(c,a);
        a=cla(a,a);
        k>>=1;
    }
    printf("%lld\n",(2*c.m[0][0]+1*c.m[0][1]+1*c.m[0][2])%MOD);
} 
int main()
{
    LL n;
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&MOD))
    {
        if(n==1)
        printf("1\n");
        else
        POW(n-2);
    }
}