快速排序复杂度分析

时间复杂度

        快速排序涉及到递归调用，所以该算法的时间复杂度还需要从递归算法的复杂度开始说起；

        递归算法的时间复杂度公式：T[n] = aT[n/b] + f(n)  ；对于递归算法的时间复杂度这里就不展开来说了；

最优情况下时间复杂度

         快速排序最优的情况就是每一次取到的元素都刚好平分整个数组(很显然我上面的不是)；

        此时的时间复杂度公式则为：T[n] = 2T[n/2] + f(n)；T[n/2]为平分后的子数组的时间复杂度，f[n] 为平分这个数组时所花的时间；

        下面来推算下，在最优的情况下快速排序时间复杂度的计算(用迭代法)：

                                          T[n] =  2T[n/2] + n                                                                     ----------------第一次递归

                 令：n = n/2        =  2 { 2 T[n/4] + (n/2) }  + n                                               ----------------第二次递归

                                            =  2^2 T[ n/ (2^2) ] + 2n

                令：n = n/(2^2)   =  2^2  {  2 T[n/ (2^3) ]  + n/(2^2)}  +  2n                         ----------------第三次递归  

                                            =  2^3 T[  n/ (2^3) ]  + 3n

                ......................................................................................                        

                令：n = n/(  2^(m-1) )    =  2^m T[1]  + mn                                                  ----------------第m次递归(m次后结束)

               当最后平分的不能再平分时，也就是说把公式一直往下跌倒，到最后得到T[1]时，说明这个公式已经迭代完了（T[1]是常量了）。

               得到：T[n/ (2^m) ]  =  T[1]    ===>>   n = 2^m   ====>> m = logn；

               T[n] = 2^m T[1] + mn ；其中m = logn;

               T[n] = 2^(logn) T[1] + nlogn  =  n T[1] + nlogn  =  n + nlogn  ；其中n为元素个数

               又因为当n >=  2时：nlogn  >=  n  (也就是logn > 1)，所以取后面的 nlogn；

               综上所述：快速排序最优的情况下时间复杂度为：O( nlogn )

最差情况下时间复杂度

        最差的情况就是每一次取到的元素就是数组中最小/最大的，这种情况其实就是冒泡排序了(每一次都排好一个元素的顺序)

     这种情况时间复杂度就好计算了，就是冒泡排序的时间复杂度：T[n] = n * (n-1) = n^2 + n;

     综上所述：快速排序最差的情况下时间复杂度为：O( n^2 )

平均时间复杂度

        快速排序的平均时间复杂度也是：O(nlogn)

空间复杂度

        其实这个空间复杂度不太好计算，因为有的人使用的是非就地排序，那样就不好计算了（因为有的人用到了辅助数组，所以这就要计算到你的元素个数了）；我就分析下就地快速排序的空间复杂度吧；

        首先就地快速排序使用的空间是O(1)的，也就是个常数级；而真正消耗空间的就是递归调用了，因为每次递归就要保持一些数据；

     最优的情况下空间复杂度为：O(logn)  ；每一次都平分数组的情况

     最差的情况下空间复杂度为：O( n )      ；退化为冒泡排序的情况

        还有个问题就是怎么取哨兵元素才能不会让这个算法退化到冒泡排序，想想了还是算了吧，越深入研究就会有越多感兴趣的问题，而我又不是搞算法分析的，所以就先这样吧。