回溯算法分析-优快云博客

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回溯算法的思想

回溯算法是一种 系统性地搜索问题解空间 的算法思想，常用于解决组合问题、排列问题、分割问题和路径问题等。它采用深度优先搜索（DFS）的方式，通过不断尝试和撤销选择，寻找所有可能的解。

基本思想

递归尝试：
- 从初始状态出发，不断尝试每一种可能的选择。
- 每一次尝试相当于做出一个“决策”，进入更深一层的递归。
约束条件：
- 如果某个选择不满足问题的约束条件，就停止继续尝试，并回到上一步进行其他选择。
解的判定：
- 在尝试到达某个状态时，判断是否已经找到一个解。
- 如果是解，则保存并继续探索其他可能的解。
回溯撤销：
- 在完成当前选择的所有尝试后，撤销当前选择，返回上一步，尝试其他可能的选择。
- 这种撤销操作使得算法能够正确地尝试所有路径。

回溯的特点

搜索过程呈现树状结构：
- 每个选择对应树的一条分支。
- 回溯过程就是沿着这棵树的分支不断深入，然后再返回、换到其他分支。
“试探+撤销”的模式：
- 每做一次选择后会递归进入下一层。
- 如果发现当前路径不可行，就撤销选择，回溯到上一步。
完整性：
- 回溯算法会遍历所有可能的解，确保不会遗漏。

算法框架

以下是回溯算法的一般框架，伪代码：

Backtrack(当前状态, 选择列表):
    if 满足结束条件:
        保存当前结果
        return
    
    for 选择 in 选择列表:
        做出选择
        递归进入下一层
        撤销选择

当前状态：当前递归所达到的问题状态。
选择列表：可以尝试的所有选择。
做出选择：选择当前分支的一个选项，更新状态。
撤销选择：恢复到上一步的状态，尝试其他选项。

示例：全排列问题

问题描述

给定一个不重复的数字数组 numsnumsnums，求所有数字的全排列。例如：输入：[1, 2, 3]
输出：[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

回溯代码实现

cpp

复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void backtrack(vector<int>& nums, vector<bool>& visited, vector<int>& current, vector<vector<int>>& result) {
    if (current.size() == nums.size()) {
        result.push_back(current); // 找到一个解
        return;
    }

    for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
        if (visited[i]) continue; // 跳过已访问的数字

        // 做出选择
        visited[i] = true;
        current.push_back(nums[i]);

        // 递归
        backtrack(nums, visited, current, result);

        // 撤销选择
        visited[i] = false;
        current.pop_back();
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> current;
    vector<bool> visited(nums.size(), false); // 标记数字是否已被使用
    backtrack(nums, visited, current, result);
    return result;
}

int main() {
    vector<int> nums = {1, 2, 3};
    vector<vector<int>> result = permute(nums);

    for (const auto& permutation : result) {
        for (int num : permutation) {
            cout << num << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

步骤详解

初始状态：
- 输入数组：nums = [1, 2, 3]。
- 当前路径 current 和结果 result 初始为空。
递归过程：
- 遍历 nums 中的每个数字：
  - 如果数字未被使用（visited[i] == false），将其加入当前路径 current。
  - 标记数字为已访问（visited[i] = true）。
  - 递归进入下一层，继续构造排列。
找到解：
- 当路径 current 的长度等于 nums 的长度时，找到了一个完整的排列，加入结果集 result。
撤销选择：
- 回到上一步，将当前数字从路径 current 中移除。
- 恢复数字的使用状态（visited[i] = false）。