编程之美2.9-斐波那契（Fibonacci）数列

最新推荐文章于 2023-12-04 20:41:23 发布

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本文详细介绍了斐波那契数列的定义及其通项公式的推导过程，并探讨了更大规模序列A(n)的计算方法。

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斐波那契数列是一个非常美丽、和谐的数列，有人说它起源于一对繁殖力惊人、基因非常优秀的兔子，也有人说远古时期的鹦鹉螺就知道这个规律。
这里写图片描述

斐波那契数列由如下递推关系式定义：
$\begin{cases} 0 & \text{if n = 0}\\ 1 & \text{if n = 1}\\ F(n-1)+F(n-2) &\text{if n >1} \end{cases}$

int Fibonacci (int n)
{
	if (n <= 0) return 0;
	else if (n == 1) return 1;
	else return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
}

求解通项公式
由递推公式 $F (n) = F (n - 1) + F (n - 2) ，我们知道 F (n) 的特征方程为：$
$x^2 = x + 1$
有根： $X1,2=1±52X_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$
所以存在$A,B $ 使得：
$A\times(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+B\times(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
代入 $F (0) = 0, F (1) = 1$ ，解得 $A=55,B=−55A=\frac{\sqrt{5}}{5},B=-\frac{\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\sqrt{5}}{5}\times(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-\frac{\sqrt{5}}{5}\times(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
通过公式，我们可以在O(1)的时间内得到F(n)。但公式中引入了无理数，所以不能保证结果的精确。

扩展问题
$假设 A (0) = 1, A (1) = 2, A (2) = 2 . 对于 n > 2 ，都有 A (k) = A (k - 1) + A (k - 2) + A (k - 3)$

$对于任何一个给定的 n, 如何计算出 A (n) ?$
$2^{60}的时候，如何计算A(n) \mod M (M\lt100000)呢？$

由递推公式 $A (k) = A (k - 1) + A (k - 2) + A (k - 3) ，我们知道 A (n) 的特征方程为：$
$x^3 = x^2+ x + 1$
所以存在 $A, B, C$ 使得：
$-A+B\times(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n+C\times(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$
解得：
$\frac43 + {\sqrt{5}-1\over6}\times(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^n-{\sqrt{5}+1\over6}\times(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^n$