HDU 2067 小兔的棋盘(简单dp、搜索、卡特兰数)

最新推荐文章于 2021-05-11 19:14:11 发布

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本文探讨了在给定棋盘上从起点到终点的最短路径计数问题，特别关注了路径不能穿越对角线的情况。通过三种算法（动态规划、深度优先搜索加记忆化、卡特兰数）解决了此问题，并提供了代码实现。

HDU 2067 小兔的棋盘

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
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Problem Description

小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点 (0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

Input

每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

Output

对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

Sample Input

1312-1

Sample Output

1 1 22 3 103 12 416024

【思路分析】

该题要注意两点，一个是要求求最短的路径，即在棋盘上走的方向只能有向下和向右两种方向（终点在右下角）；另一个是不能穿越棋盘的对角线这个条件可以等价于在被对角线分割的一个直角三角形上求最短的路径。

该题有三种解法：

1、dp

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，即经过该点的路径一定来自其左边的点或者其上边的点；

2、dfs结合记忆化搜索

3、卡特兰数

代码如下：

1、dp

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long dp[40][40];
void init(int n)
{
    dp[1][1] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = i;j <= n;j++)
        {
            if(i == 1 && j == 1)
                continue;
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];//要求最短的路径，即只能从左到右、从上到下两种
        }
    }
}
int main()
{
    init(36);
    int n,times = 1;
    while(scanf("%d",&n) != EOF && n != -1)
    {
        printf("%d %d %lld\n" ,times++ ,n ,dp[n+1][n+1] * 2);
    }
    return 0;
}

2、dfs + 记忆化搜索

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int visited[40][40];
int n;
long long dp[40][40];

long long dfs(int x,int y)
{
    if(x == n + 1 && y == n + 1)
        return 1;
    if(visited[x][y])
        return dp[x][y];//使用记忆化搜索结果
    long long sum = 0;
    if(x + 1 <= n + 1 && x + 1 <= y)//要满足下三角形x和y坐标的大小关系
    {
        sum += dfs(x + 1,y);//向右搜
    }
    if(y + 1 <= n + 1)
    {
        sum += dfs(x,y + 1);//向下搜
    }
    visited[x][y] = 1;
    dp[x][y] = sum;//记忆化搜索

    return sum;
}
int main()
{
    memset(visited,0,sizeof(visited));
    int times = 1;
    while(scanf("%d" ,&n) && n != -1)
    {
         memset(visited,0,sizeof(visited));
        printf("%d %d %lld\n" ,times++ ,n ,dfs(1 ,1) * 2);
    }
    return 0;
}

3、卡特兰数

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long catalan[40][40];
int n;
int main()
{
    memset(catalan,0,sizeof(catalan));
    catalan[1][1] = 1;
    for(int i = 2;i <= 36;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= i;j++)
        {
            if(j == 1)
            {
                catalan[i][j] = catalan[i - 1][j];
            }
            else if(j == i)
            {
                catalan[i][j] = catalan[i][j - 1];
            }
            else
            {
                catalan[i][j] = catalan[i - 1][j] + catalan[i][j - 1];
            }
        }
    }
    int t = 1;
    while(scanf("%d",&n) != EOF && n != -1)
    {
        printf("%d %d %lld\n",t++,n,catalan[n + 1][n + 1] * 2);
    }
    return 0;
}