普利姆(prim)算法和克鲁斯卡尔(kruskal)算法

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#算法 #kruskal #prim

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介绍了连通网的两种最小生成树算法：普里姆算法（加点法）和克鲁斯卡尔算法（加边法）。普里姆算法通过不断加入顶点来构建最小生成树，而克鲁斯卡尔算法则是通过不断加入边来构建最小生成树。

连通网的最小生成树算法：

1.普里姆算法——”加点法”。
假设N=(V,{E})是连通网，TE为最小生成树的边集合。
（1）初始U={u0}(u0∈V),TE=φ；
（2）在所有u∈U, v∈V-U的边(u,v)中选择一条代价最小的边（u0，v0）并入集合TE，同时将v0并入U；（并修正U-V中各顶点到U的最短边信息）
（3）重复步骤（2），直到U=V为止。
此时，TE中含有n-1条边，T=（V，{TE}）为N的最小生成树。

普里姆算法是逐步向U中增加顶点的“加点法”。

注意：选择最小边时，可能有多条同样权值的边可供选择，此时任选其一。

为实现该算法需设一辅助数组closedge[N]，记录从V-U到U具有最小代价的边。对每个顶点v∈V-U，其对应的辅助数组元素closedge[v] 包括adjvex和lowcost两个域，其中lowcost为该顶点至U的最短边权值，即closedge[v].lowcost=Min({cost(u,v) | u∈U}) adjvex为该最短边在U中所依附的顶点。

/*prim算法(加点法)*/
struct {
    int adjvex;
    int lowcost;
} closedge[MAX_VERTEX_NUM];    /*求最小生成树时的辅助数组*/

MiniSpanTree_Prim(AdjMartrix gn, int u) {
/*从顶点u出发，按prim算法构造连通网gn的最小生成树，并输出生成时的每条边*/
    closedge[u].lowcost = 0;     /*初始化*， U = {u}*/
    for(i = 0; i < gn.vexnum; i++) {
        if(i != u) {             /*对V-U的顶点i，初始化closedge[i]*/
            closedge[i].adjvex = u;
            closedge[i].lowcost = gn.arcs[u][i].adj;    
        }
    }
    for(e = 1; e < gn.vexnum - 1; e++) {    /*找n-1条边*/
        v = Mimium(closedge);     /*closedge中存有当前最小边(u，v)的信息*/
        printf(u, v);     /*输出生成树的当前最小边(u，v)*/
        closedge[v].lowcost = 0;     /*将顶点v纳入U集合*/
        for(i = 0; i < gn.vexnum; i++) {     /*顶点v纳入U集合后,更新closedge[i]*/
            if(gn.arcs[v][i].adj < closedge[i].lowcost) {
                closedge[i].lowcost = gn.arcs[v][i].adj;
                closedge[i].adj = v;
            }
        }
    }   
}

1.克鲁斯卡尔算法——”加边法”。

（1）将n个顶点构成n个集合；
（2）按权值由小到大的顺序选择边，选择两个邻接顶点不在同一顶点集合内的边，将该边放入生成树的边集合中。同时将该边关联的两个顶点所在的顶点集合合并；
（3）重复(2)，直到所有顶点均在同一顶点集合内。

克鲁斯卡尔算法逐步增加生成树所包含的边–“加边法”。

/*kruskal算法(加边法)*/
typedef struct {
    VertexType vex1;    //顶点元素
    VertexType vex2;
    VrType weight;
} EdgeType;
typedef sturct {     //有向网的定义
    VertexType vex[MAX_VERTEX_NUM];    //顶点信息
    EdgeType edge[MAX_VERTEX_NUM];     //边的信息
    int vexnum,arcnum;
} ELGraph
/*kruskal算法伪代码*/
void MiniSpanTree_Kruskal(ELgraph G, SqList &MSTree) {
/*G.edge中依权值大小存放有向网各边
按Kruskal算法求得生成树的边放在顺序表MSTree中*/
    MFSet F;
    InitSet(F, G.vexnum);     //将森林F初始化为n棵树的集合
    InitList(MSTree, G.vexnum);     //初始化为空树
    i = 0; k = 1;             //i表示边编号，k为查找边的循环控制变量
    while(k < G.vexnum) {
        e = G.edge[i];        //q取第i条权值最小的边
        //返回两个顶点所在的根
        r1 = SearchMFSet(F, LocateVex(e.vex1));
        r2 = SearchMFSet(F, LocateVex(e.vex2));
        if(r1 != r2) {     //选定生成树上第k条边
            ListInsert(MSTree, k, e);     //插入生成树中
            CombineMFSet(F, r1, r2);      //两棵树归并成一棵
            k++;
        }
    }
    DestroySet(F);
}