函数空间

在很多的书中都会碰到欧式空间和希尔伯特空间，虽然，并没有什么实质的用处，但是，还是看到这写名词难免虎躯一震。

这篇博客大概记录一下，这几个东西，目的不是为了完美的解释这些东西到底是什么，而是为了让自己在看到这些东西的时候不再害怕，而是心里知道就是那么回事。同时还有另外的作用就是可以用来吓别人。

我们主要理解的介个函数空间如下：
距离空间（度量空间）
线性空间（向量空间）
赋范空间
内积空间
欧氏空间
希尔伯特空间
巴拿赫空间
简单的理解，我们可以把满足XX规则的元素的集合叫做XX空间。

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距离空间（度量空间）

首先要搞清楚什么是距离，而满足***条件才叫距离，而这样的一些元素的集合构成的空间，我们就可以叫做距离空间。

设X是非空集合，对于X中任意的两个元素x与y，按某一法则都对应唯一的实数d(x，y)，而且满足下述三条公理：

$d(x，y)\ge 0，d(x，y)=0⟶x=y$

$d(x，y)=d(y，x)$

$d(x，y)\le d(x，z)+d(z，y)$

则称d(x，y)为x与y的距离，

线性空间（向量空间）

线性空间即定义了数乘和加法的空间，就是具有线性结构的空间。 有了线性空间的概念之后，因为有数乘和加法，所以空间中可以找到一组基底（Basis）能够通过线性组合得到空间中所有的点。并且满足八项规则（交换律、结合律等）。

定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求，从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。

赋范空间
有了距离才有距离空间同样的有了范数才有赋范空间，而范数可以代表一种距离的的定义，而距离不能代表范数，我们可以理解为距离具化只有得到范数，从而就有了赋范空间的概念。

在向量空间中，我们定义了范数的概念，表示某点到空间零点的距离：

$||x||\ge 0$

$||ax||=|a|||x||$

$||x+y||\le ||x||+||y|$

范数比距离多了第二个条件，这里可以理解为范数是距离的具化。

范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间
距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间
线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间；
有限维的内积空间也就是欧氏空间
赋范空间+完备性=巴拿赫空间

内积空间（无限维）+完备性=希尔伯特空间

完备性。也即是在取极限的时候，不会跑出去这个空间，就叫做空间的完备性。比如实数集是完备的，而有理数集是不完备的。有理数数列取极限可能是无理数。

参考：

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http://open.163.com/movie/2013/3/T/0/M8PTB0GHI_M8PTBUHT0.html
https://blog.youkuaiyun.com/qq_34099953/article/details/84190508?tdsourcetag=s_pctim_aiomsg
https://blog.youkuaiyun.com/lulu950817/article/details/80424288