QDUOJ 67 - 礼上往来(错排公式)

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本文探讨了一种特定的排列组合问题——错排问题，并提供了一个C++实现的例子。问题背景设定为节日间如何合理地交换礼物，确保没有人收到自己送出的礼物。通过递推公式计算所有可能的交换方案。

礼上往来
发布时间: 2016年1月3日 19:13 最后更新: 2016年1月3日 19:15 时间限制: 1000ms 内存限制: 128M

描述
每当节日来临，女友众多的xxx总是能从全国各地的女友那里收到各种礼物。

有礼物收到当然值得高兴，但回礼确是件麻烦的事！

无论多麻烦，总不好意思收礼而不回礼，那也不是xxx的风格。

现在，即爱面子又抠门的xxx想出了一个绝妙的好办法：他准备将各个女友送来的礼物合理分配，再回送不同女友，这样就不用再花钱买礼物了！

假设xxx的n个女友每人送他一个礼物（每个人送的礼物都不相同），现在他需要合理安排，再回送每个女友一份礼物，重点是，回送的礼物不能是这个女友之前送他的那个礼物，不然，xxx可就摊上事了，摊上大事了……

现在，xxx想知道总共有多少种满足条件的回送礼物方案呢？

输入
输入数据第一行是个正整数T，表示总共有T组测试数据（T <= 100）；每组数据包含一个正整数n，表示叽叽哥的女友个数为n( 1 <= n <= 100 )。

输出
请输出可能的方案数，因为方案数可能比较大，请将结果对10^9 + 7 取模后再输出。每组输出占一行。

样例输入1 复制
3
1
2
4
样例输出1
0
1
9

错排公式:

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成：
第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1种方法。
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2)种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k个位置(也就是说本来准备放到k位置为元素，可以放到1位置中),于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1)种方法。
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2)。

AC代码

#include<stdio.h>
using namespace std;
const int mod = 1000000007;
int main()
{
    int t,n;
    long long a[200] = {0,0,1},i,j;
    for(i = 3; i<=100; i++)
        a[i] = ((a[i-1]+a[i-2])%mod)*(i-1)%mod;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",a[n]);
    }
    return 0;
}