SVD奇异值分解

最新推荐文章于 2024-05-16 11:19:15 发布
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#算法 #机器学习 #人工智能

本文详细介绍了矩阵的特征值分解（EVD）和奇异值分解（SVD），包括它们的定义、应用场景以及相互之间的联系。EVD适用于实对称矩阵，SVD则对任意矩阵有效。SVD可以视为EVD的一种推广，当A为方阵时，EVD的特征值即为SVD中奇异值的平方。通过EVD和SVD，可以进行矩阵的谱分析、低秩近似和数据分析等任务。

一、特征值分解EVD

其中：

1、Q为标准正交阵，Σ为对角矩阵，λ称为特征值，q是Q（特征矩阵）的列向量，称为特征向量。

2、A为方阵，是m*m的实对称矩阵

二、奇异值分解

其中：

1、A是m*n的矩阵

2、U是m*m的标准正交阵，V是n*n的标准正交阵。

3、\Sigma是m*n的矩阵

三、如何做SVD，如何联系SVD和EVD

EVD是SVD的特殊形式，EVD要求更严格，需要A为方阵。

其中：

1、AA^{T}是m*m的，A^{T}A是n*n的

2、而对于A，其特征值λ（奇异值）是AA^{T}、A^{T}A的特征值开根号得到。

 

 

 四、举例

1、计算AA^{T}、A^{T}A

 

 2、计算A^{T}A的特征值、特征向量，从而得到V、\Sigma ^{T}\Sigma

 

 3、 计算AA^{T}的特征值、特征向量U、\Sigma \Sigma ^{T}

4、 计算A的奇异值

\delta = \sqrt{3}  

\delta = 1

5、最终奇异值分解

参考：

1、 SVD（奇异值分解）小结 - EndlessCoding - 博客园 (cnblogs.com)

2、奇异值分解（SVD） - 知乎 (zhihu.com)

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08-02
已经经过验证的，下载直接运行，运行结果与C语言算法程序集里面的结果完全符合
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奇异值分解在某些方面与对称矩阵或Hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。 资源提供的是奇异值分解的C语言实现。
奇异值分解(SVD)
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最近不小心接触到了SVD，然后认真看下去之后发现这东西真的挺强大的，把一个推荐问题转化为纯数学矩阵问题，看了一些博客，把一个写个比较具体的博文引入进来，给自己看的，所以把觉得没必要的就去掉了，博文下面附原始博客地址。 一、基础知识 1. 矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵中线性无关的行或列的个数 2. 对角矩阵：对角矩阵是除对角线外所有元素都为零的方阵 3. 单位矩阵：如果...
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奇异值分解 SVD 的 Python 代码实现
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svd.c.rar_SVD_SVD奇异值分解_SVD算法_svd.c_奇异值算法
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在给定的标题“svd.c.rar_SVD_SVD奇异值分解_SVD算法_svd.c_奇异值算法”中，我们可以看到SVD与编程语言C的结合，表明这是一个关于如何用C语言实现SVD算法的资源。 SVD是线性代数中的一个重要概念，它将任意一个m×...
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图像模式识别svd（奇异值分解）算法及图像相似度计算delphi源代码.
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SVD（奇异值分解）
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从上面的图片的压缩结果中可以看出来，奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值，或者说，奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时，它代表的信息越多。因此，我们取前面若干个最大的奇异值，就可以基本上还原出数据本身。如下，可以作出奇异值数值变化和前部分奇异值和的曲线图，如下图所示====================图片缺失==================从上面的第1个图，可以看出，奇异值下降是非常快的，因此可以只取前面几个奇异值，便可基本表达出原矩阵的信息。...
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SVD奇异值分解是一种常用的矩阵分解方法，可用于信号和图像的降噪。其原理和方法如下： ### 原理 奇异值分解可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，基本思想是把矩阵分解为U、Σ和V三个部分，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角矩阵。通常噪声对应较小的奇异值，通过对Σ中的奇异值进行适当处理，如丢弃小奇异值并重构矩阵，就可以达到一定程度的降噪效果[^2][^4]。 ### 方法 在数字信号处理中，使用SVD进行降噪的具体步骤如下： 1. **构建矩阵**：将待降噪的信号构成一个矩阵[^2]。 2. **SVD分解**：对该矩阵进行SVD分解，得到U、Σ和V [^2]。 3. **选择奇异值**：根据降噪的需求，选择保留的奇异值个数，将其余的奇异值置零。较小的奇异值通常对应噪声，去除这些值可以减少噪声影响 [^2][^3][^4]。 4. **重构矩阵**：根据保留的奇异值，重新构建矩阵 [^2]。 5. **逆SVD运算**：对重构后的矩阵进行逆SVD运算，得到降噪后的信号 [^2]。 在图像降噪中，通过调整保留的奇异值数量k，可以在噪声去除和细节保留之间取得平衡。较小的k值（如5或10）可以有效去除噪声，但会丢失图像细节；较大的k值（如50或100）能保留更多细节，但降噪效果会降低 [^3]。 ### 代码示例（Python） 以下是一个简单的Python示例，使用NumPy库进行SVD降噪： ```python import numpy as np # 生成含噪声的信号 signal = np.linspace(0, 10, 100) noise = np.random.normal(0, 1, 100) noisy_signal = signal + noise # 构建矩阵 matrix = noisy_signal.reshape(-1, 1) # SVD分解 U, S, V = np.linalg.svd(matrix, full_matrices=False) # 选择保留的奇异值个数 k = 1 S[k:] = 0 # 重构矩阵 reconstructed_matrix = np.dot(U * S, V) # 提取降噪后的信号 denoised_signal = reconstructed_matrix.flatten() print("降噪前信号:", noisy_signal) print("降噪后信号:", denoised_signal) ```
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