[BZOJ 3963][WF2011]MachineWorks：CDQ分治|DP斜率优化

最新推荐文章于 2020-01-17 16:01:25 发布

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本文介绍了一种利用斜率优化DP结合CDQ分治解决特定问题的方法。通过将点按时间排序并使用上凸壳进行优化，解决了包含复杂约束条件的问题。文章详细解释了算法实现过程及注意事项。

点击这里查看原题

把所有点按时间排好序，得到方程：

f[i]=max{f[j]-p[j]+r[j]+g[j]*(d[i]-d[j]-1)}

设x[j]=g[j],y[j]=f[j]-p[j]+r[j]-g[j]*(d[j]+1),则：

y[j]=-d[i]*x[j]+f[i]

于是维护一个上凸壳进行斜率优化。
但是由于凸壳中的点需要按x坐标排好序，因此需要进行CDQ分治，左区间按x坐标排序维护上凸壳，右区间按时间排序进行更新即可。
需要额外注意的是本题有一些坑：
1.叉乘会爆long long，因此要用double
2.凸壳中可能一个点都没有，因此不一定每次都能更新

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:3963
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const int M=1e5+1e2;
const double eps=1e-10;
ll n,c,d;
ll f[M];
int dcmp(double a){
    return fabs(a)<eps?0:(a<0?-1:1);
}
struct no{
    ll d,p,r,g;
    bool operator<(const no b)const{
        return d<b.d;
    }
}a[M];
struct point{
    ll x,y;
    bool operator<(const point b)const{
        return x==b.x?y<b.y:x<b.x;
    }
}p[M],stk[M];
point operator-(point a,point b){
    return (point){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
double cross(point a,point b){
    return 1.0*a.x*b.y-1.0*a.y*b.x;
}
ll cal(int i,point p){
    return a[i].d*p.x+p.y;
}
void cdq(int l,int r){
    if(l==r){
        f[l]=max(f[l],f[l-1]);
        return;
    }
    ll mid=l+r>>1;
    cdq(l,mid);
    ll m=0,tp=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++)
        if(f[i]>=a[i].p) p[++m]=(point){a[i].g,f[i]-a[i].p+a[i].r-a[i].g*(a[i].d+1)};
    sort(p+1,p+m+1);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        while(tp>1&&dcmp(cross(stk[tp]-stk[tp-1],p[i]-stk[tp-1]))>=0) tp--;
        stk[++tp]=p[i];
    }
    for(int i=mid+1,j=1;i<=r;i++){
        while(j<tp&&cal(i,stk[j])<=cal(i,stk[j+1])) j++;
        if(j<=tp) f[i]=max(f[i],cal(i,stk[j]));
    }
    cdq(mid+1,r);
}
void solve(){
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&a[i].d,&a[i].p,&a[i].r,&a[i].g);
    a[++n]=(no){d+1,0,0,0};
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=0;
    sort(a+1,a+n+1);
    cdq(1,n);
}
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    int kase=0;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&f[0],&d)==3&&(n+f[0]+d)){
        solve();
        printf("Case %d: %lld\n",++kase,f[n]);
    }
    return 0;
}