[BZOJ 1911][Apio2010]特别行动队：DP斜率优化

最新推荐文章于 2019-11-05 22:53:27 发布

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DP斜率优化

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本文介绍了一个具体的DP算法问题，通过动态规划求解最优路径，并利用斜率优化减少时间复杂度。文章展示了完整的C++实现代码，包括斜率优化的具体计算方法。

点击这里查看原题

DP方程：

f[i]=max(f[j]+a*(sum[i]-sum[j])^2+b*(sum[i]-sum[j])+c)

如果j>k且j比k更优，则

f[j]-f[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*(sum[k]-sum[j])>2*a*(sum[j]-sum[k])*sum[i]

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:1911
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const int M=1e6+5;
int n,a,b,c,stk[M],tp;
ll sum[M],f[M];
ll sqr(ll x){
    return x*x;
}
ll slopup(int j,int k){
    return f[k]-f[j]+a*(sqr(sum[k])-sqr(sum[j]))+b*(sum[j]-sum[k]);
}
ll slopdown(int j,int k){
    return (sum[k]-sum[j])*a*2;
}
double slop(int j,int k){
    return (double)slopup(j,k)/(double)slopdown(j,k);
}
ll cal(int i,int j){
    return f[j]+a*sqr(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c;
}
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&sum[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]+=sum[i-1];
    for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
        while(j<tp&&slop(stk[j],stk[j+1])<sum[i]) j++;
        f[i]=cal(i,stk[j]);
        while(j<tp&&slop(stk[tp-1],stk[tp])>slop(stk[tp],i)) tp--;
        stk[++tp]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}