LeetCode4 寻找两个正序数组的中位数 困难

题目

给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个正序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0

示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

题目解读

看到题目时，第一反应是这样的理解：

看到中位数和数组，第一反应就是 排序。很明显， 正序数组就是要拿来用的。

因为要求 O(log(m + n))的时间复杂度，直接遍历来排序显然是不行的。

思路

然而，因为题目给的是两个正序数组，因此必然可以利用！这个时候我想到了按顺序插入排序，其实就是归并排序。
因为正序，所以排在后边的数组不可能在新的数组里排到前边去。也就是说，第二个数组的第二个数在新的数组里不可能排到第二个数组的第一个数前面！
因此我们首先创建一个新的数组，其长度是两者的和。然后同时遍历两个数组但是不让其下标自增，而是我们自行控制下标的自增。在每一次遍历，都比较两个数组中当前下标对应的数组大小，并将小的那个加入新的数组，并让其下标自增1，直到某一个下标值超出了数组边界。当某个下标值超出了数组边界的时候，另一个数组至少还有一个数组没有放进去，或者说另一个数组会存在需要继续排序的数字。
因此在循环遍历的条件应当是两个数组任意一个仍有元素遍历，这样在某个数组遍历完毕后，仍处于循环中，就可以在循环中判断是哪个数组结束了遍历，并从另一个数组的当前下标开始循环添加剩余元素到新的数组中。

最后得到新的数组是按正序排好的数组，直接根据奇数或者偶数长度来取对应的中位数就行了！

但是这个解法的时间复杂度是O(m+n)，并不满足题目要求。
不过代码还是附上吧。

C#代码

public class Solution {
    public double FindMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
            // 首先创建一个新的数组
            var newNums = new int[nums1.Length + nums2.Length];
            var length = newNums.Length;

            // 将两个排序的数组放入新的数组（按照正序）
            for (int i = 0, j = 0; i < nums1.Length || j < nums2.Length;)
            {
                if (i == nums1.Length)
                {
                    // 到第一个数组的最后一个了 第二个数组可能没整完
                    for (; j < nums2.Length; j++)
                    {
                        newNums[i + j] = nums2[j];
                    }
                    break;
                }
                else if (j == nums2.Length)
                {
                    // 到第二个数组的最后一个了 第一个数组可能没整完
                    for (; i < nums1.Length; i++)
                    {
                        newNums[i + j] = nums1[i];
                    }
                    break;
                }

                // 通过比较来确定是插入哪一个数字
                if (nums1[i] < nums2[j])
                {
                    newNums[i+j] = nums1[i];
                    i++;
                }
                else
                {
                    newNums[i+j] = nums2[j];
                    j++;
                }
            }

            if (length % 2==0)
            {
                // 偶数
                return (newNums[length / 2] + newNums[length / 2 - 1]) / 2.0;
            }
            else
            {
                // 奇数
                return newNums[length / 2];
            }
    }
}

官方解法

二分查找法

图解：

例子

代码

Java代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
        int totalLength = length1 + length2;
        if (totalLength % 2 == 1) {
            int midIndex = totalLength / 2;
            double median = getKthElement(nums1, nums2, midIndex + 1);
            return median;
        } else {
            int midIndex1 = totalLength / 2 - 1, midIndex2 = totalLength / 2;
            double median = (getKthElement(nums1, nums2, midIndex1 + 1) + getKthElement(nums1, nums2, midIndex2 + 1)) / 2.0;
            return median;
        }
    }

    public int getKthElement(int[] nums1, int[] nums2, int k) {
        /* 主要思路：要找到第 k (k>1) 小的元素，那么就取 pivot1 = nums1[k/2-1] 和 pivot2 = nums2[k/2-1] 进行比较
         * 这里的 "/" 表示整除
         * nums1 中小于等于 pivot1 的元素有 nums1[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * nums2 中小于等于 pivot2 的元素有 nums2[0 .. k/2-2] 共计 k/2-1 个
         * 取 pivot = min(pivot1, pivot2)，两个数组中小于等于 pivot 的元素共计不会超过 (k/2-1) + (k/2-1) <= k-2 个
         * 这样 pivot 本身最大也只能是第 k-1 小的元素
         * 如果 pivot = pivot1，那么 nums1[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums1 数组
         * 如果 pivot = pivot2，那么 nums2[0 .. k/2-1] 都不可能是第 k 小的元素。把这些元素全部 "删除"，剩下的作为新的 nums2 数组
         * 由于我们 "删除" 了一些元素（这些元素都比第 k 小的元素要小），因此需要修改 k 的值，减去删除的数的个数
         */

        int length1 = nums1.length, length2 = nums2.length;
        int index1 = 0, index2 = 0;
        int kthElement = 0;

        while (true) {
            // 边界情况
            if (index1 == length1) {
                return nums2[index2 + k - 1];
            }
            if (index2 == length2) {
                return nums1[index1 + k - 1];
            }
            if (k == 1) {
                return Math.min(nums1[index1], nums2[index2]);
            }
            
            // 正常情况
            int half = k / 2;
            int newIndex1 = Math.min(index1 + half, length1) - 1;
            int newIndex2 = Math.min(index2 + half, length2) - 1;
            int pivot1 = nums1[newIndex1], pivot2 = nums2[newIndex2];
            if (pivot1 <= pivot2) {
                k -= (newIndex1 - index1 + 1);
                index1 = newIndex1 + 1;
            } else {
                k -= (newIndex2 - index2 + 1);
                index2 = newIndex2 + 1;
            }
        }
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/xun-zhao-liang-ge-you-xu-shu-zu-de-zhong-wei-s-114/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

划分数组法

时间复杂度更低的方法




条件分析

Java代码

class Solution {
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
        if (nums1.length > nums2.length) {
            return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
        }

        int m = nums1.length;
        int n = nums2.length;
        int left = 0, right = m, ansi = -1;
        // median1：前一部分的最大值
        // median2：后一部分的最小值
        int median1 = 0, median2 = 0;

        while (left <= right) {
            // 前一部分包含 nums1[0 .. i-1] 和 nums2[0 .. j-1]
            // 后一部分包含 nums1[i .. m-1] 和 nums2[j .. n-1]
            int i = (left + right) / 2;
            int j = (m + n + 1) / 2 - i;

            // nums_im1, nums_i, nums_jm1, nums_j 分别表示 nums1[i-1], nums1[i], nums2[j-1], nums2[j]
            int nums_im1 = (i == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums1[i - 1]);
            int nums_i = (i == m ? Integer.MAX_VALUE : nums1[i]);
            int nums_jm1 = (j == 0 ? Integer.MIN_VALUE : nums2[j - 1]);
            int nums_j = (j == n ? Integer.MAX_VALUE : nums2[j]);

            if (nums_im1 <= nums_j) {
                ansi = i;
                median1 = Math.max(nums_im1, nums_jm1);
                median2 = Math.min(nums_i, nums_j);
                left = i + 1;
            }
            else {
                right = i - 1;
            }
        }

        return (m + n) % 2 == 0 ? (median1 + median2) / 2.0 : median1;
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/solution/xun-zhao-liang-ge-you-xu-shu-zu-de-zhong-wei-s-114/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

感想

看到复杂度为log(n)，应当直接想到对应的算法（如果基础扎实）。
然后就是，划分数组法还没很懂（我的天我怎么这么笨！）。