数据结构与算法（二）

树

1、二叉搜索树（BST）

• 「左⼩右⼤」，对于每个节点，整棵左⼦树都⽐该节点的值⼩，整棵右⼦树都⽐该节点的值⼤。
• BST 的中序遍历结果是有序的（升序）
• 缺点：容易退化成一条链，查找的时间复杂度从O（log2N）退化成O（N）
  思路

2、平衡二叉树（AVL）

• 在二叉搜索树的基础上加了限制：左右子树的高度差不能超过1

• 每次进行插入/删除操作时，几乎都需要通过旋转操作保持平衡

• 左旋：逆时针旋转两个节点，让一个节点被它的右子节点取代，而这个节点就成了右子节点的左子节点

• 右旋：顺时针旋转两个节点，让一个节点被他的左子节点取代，而这个节点就成了左子节点的右子节点

• 缺点：在插入/删除比较频繁的场景中，需要频繁的旋转操作，这时候AVL的性能大打折扣

3、红黑树（具有自动平衡机制的二叉搜索树，弱平衡二叉树）

（1） 规则

• 节点为红色或者黑色；
• 根节点必须为黑色；叶子节点（null）为黑色；
• 红黑树不会出现连续的红色节点；
• 每个节点到叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；
• 新加入到红黑树的节点为红色节点；
• 从根节点到叶子节点的最长路径不大于最短路径的2倍

（2） 红黑树的调整情形：插入最多旋转2次，删除最多旋转3次

• 新插入红黑树的节点一定是红色
• 若新插入节点的爸爸是黑色节点，红黑树不需要调整 3
• 若新插入节点的爸爸和它叔叔都是红色节点，红黑树只需要变色，不需要旋转
• 若新插入节点的爸爸是红色，但是它叔叔是黑色（可能为null，但是null是叶子节点，正儿八经的黑色），这时，一定是变色+旋转。

（3） 与AVL树（平衡二叉树）的区别

• 红黑树是弱平衡二叉树，是高度平衡的，插入最多两次旋转，删除最多三次旋转；所以红黑树在查找，插入删除的性能都是O(logn)，且性能稳定，所以STL里面很多结构包括map底层实现都是使用的红黑树。
• 红黑树整体性能略优于AVL树（红黑树旋转情况少于AVL树）
• AVL树的时间复杂度虽然优于红黑树，但是对于现在的计算机，cpu太快，可以忽略性能差异
• 红黑树的插入删除比AVL树更便于控制操作

（4）map和unordered_map的底层实现，以及两者的优点和缺点

底层实现

• map是基于红黑树实现的，因此map内部元素排列是有序的
• unordered_map是基于哈希表实现的，因此其元素的排列顺序是杂乱无序的

优缺点

• map结构最大的优点是有序性，其元素的有序性在很多应用中都会简化很多操作；map的查找、删除、增加等一系列操作时间复杂度稳定，都为logn；也正因为操作时间与n有关，n太大的时候会比较慢。
• unordered_map的查找、删除、添加等操作的时间复杂度是常数级的，O©,所以比较快；unordered_map内部基于哈希表，以（key,value）对的形式存储，因此空间占用率高；查找、删除、添加的时间复杂度其实是取决于哈希函数的，有时候不稳定，极端情况下可能为O(n)

（5） 请你回答一下epoll怎么实现的

-Linux epoll机制是通过红黑树和双向链表实现的。

• 首先通过epoll_create()系统调用在内核中创建一个eventpoll类型的句柄，其中包括红黑树根节点和双向链表头节点。
• 然后通过epoll_create()系统调用，向epoll对象的红黑树结构中添加、删除、修改感兴趣的事件，返回0标识成功，返回-1标识失败；
• 最后通过epoll_wait()系统调用判断双向链表是否为空，如果为空则阻塞。当文件描述符状态改变，fd上的回调函数被调用，该函数将fd加入到双向链表中，此时epoll_wait函数被唤醒，返回就绪好的事件。

4、哈夫曼树

（1）定义

• 哈夫曼编码是哈夫曼树的一种应用，广泛用于数据文件压缩。哈夫曼编码算法用字符在文件中出现的频率来建立。

（2）具体算法

• 哈夫曼算法以自底向上的方式构造表示最优前缀码的二叉树T。
• 算法以|C|个叶结点开始，执行|C|－1次的“合并”运算后产生最终所要求的树T。
• 假设编码字符集中每一字符c的频率是f©。以f为键值的优先队列Q用在贪心选择时有效地确定算法当前要合并的2棵具有最小频率的树。
• 一旦2棵具有最小频率的树合并后，产生一棵新的树，其频率为合并的2棵树的频率之和，并将新树插入优先队列Q。经过n－1次的合并后，优先队列中只剩下一棵树，即所要求的树T。

5、B树/B-树

（1）定义

• 一种平衡的多叉树

（2）特征

• 以 一颗m阶（阶：一个节点最多有多少个孩子节点）的B-树为例
• 根结点至少有两个子女;
• 每个非根节点所包含的关键字个数 j 满足：⌈m/2⌉ - 1 <= j <= m - 1.(⌈⌉表示向上取整)
• 有k个关键字(关键字按递增次序排列)的非叶结点恰好有k+1个孩子。
• 所有的叶子结点都位于同一层。
  

6、 B+树

（1）定义

• B+树是B-树的变体，也是一颗多路搜索树。

（2）特征

• 以 一颗m阶（阶：一个节点最多有多少个孩子节点）的B+树为例
• 每个结点至多有m个子女;
• 非根节点关键值个数范围：⌈m/2⌉ - 1 <= k <= m-1
• 相邻叶子节点是通过指针连起来的，并且是关键字大小排序的。
• 一颗3阶的B+树如下：

（3）B树与B+树的区别

• B+树的层级更少：相较于B树，B+每个非叶子节点存储的关键字数更多，树的层级更少所以查询数据更快；
• B+树查询速度更稳定：B+所有关键字数据地址都存在叶子节点上，所以每次查找的次数都相同所以查询速度要比B树更稳定;
• B+树天然具备排序功能：B+树所有的叶子节点数据构成了一个有序链表，在查询大小区间的数据时候更方便，数据紧密性很高，缓存的命中率也会比B树高。（B+树相邻的叶子节点之间是通过链表指针连起来的，B-树却不是。）
• B+树全节点遍历更快：B+树遍历整棵树只需要遍历所有的叶子节点即可，而不需要像B树一样需要对每一层进行遍历，这有利于数据库做全表扫描。（B-树内部节点是保存数据的;而B+树内部节点是不保存数据的，只作索引作用，它的叶子节点才保存数据。查找过程中，B-树在找到具体的数值以后就结束，而B+树则需要通过索引找到叶子结点中的数据才结束）
• B-树中任何一个关键字出现且只出现在一个结点中，而B+树可以出现多次。
• 而B树相对于B+树的优点是，如果经常访问的数据离根节点很近，而B树的非叶子节点本身存有关键字其数据的地址，所以这种数据检索的时候会要比B+树快。