ZOJ 3638 (集合组合、容斥定理)

集合组合、容斥定理

题意：

有n种水果，每一种的数目不限制。现在要挑选出m个水果，其中有两种限制条件

• 某种水果不能超过xi个
• 某种水果至少出现xi个

问有多少组合情况？

思路：

先考虑第二种限制条件条件：假如有n种集合，现在要挑选m个出来，如果没有限制的情况下就是

$$C(n+m-1,n-1)​$$ ( 算法入门经典10.2 计数与概率基础 )而其中有一种集合至少出现temp次那么所有组合情况就是： $$C(n+m-temp,n-1)​$$ 为什么是这个组合情况呢？因为相当于先把这一种的基数拿了出来，那么剩下的就和原来一样了。

解决第一种限制条件和第二种有点类似。

因为不知道是哪一种被挑选出来了，所以二进制枚举所有情况。然后奇数的种类数相减，偶数种类数相加，判断奇偶相减相加的方法就是单个去看，很明显单种组合情况需要减去其超过temp 的情况。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

#define mod 100000007
typedef long long ll;
const int maxn = 200;

int n,m;
int a[maxn],cnt = 0;

ll x,y,d;
void exgcd(ll a,ll b)    //  扩展欧几里得
{
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else {
        exgcd(b,a%b);
        ll t=x%mod;
        x=y%mod;
        y=(t-a/b*x)%mod;
    }
}

ll C(ll a,ll b)
{
    if(a<b||a<0||b<0) return 0;
    ll ret=1,ret1=1;
    for(int i=0; i<b; i++) ret=ret*(a-i)%mod,ret1=ret1*(i+1)%mod;
    //ret=ret*quickmod(ret1,mod-2)%mod; //费马定理求逆元，貌似这快点
    exgcd(ret1,mod);                    //欧几里得求逆元
    ret=(ret*(x+mod)%mod)%mod;
    return ret;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);

    char s[100],s1[1000],s2[maxn],str[1000];
    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {
        if(n == 0 && m == 1) break;
        cnt = 0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        gets(str);
        while(1){
            if(!gets(str)) break;
            if(strlen(str) < 2) break;
            int temp;
            sscanf(str,"%s %s %s %d",s,s1,s2,&temp);
            if(s1[0] == 'g') {
                m -= temp + 1;
            }
            else {
                a[cnt++] = temp;
            }
        }
        if(m < 0) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        ll ans = 0;
//       ans = C(n+m-1,n-1);
        ll all = (1<<cnt);
        for(ll i = 0;i < all; i++) {
            int ones = 0;
            int temp = 0;
            for(int j = 0;j < cnt; j++) {
                if((1<<j)&i) {
                    ones++;
                    temp += a[j];
                }
            }
            if(ones&1)
                ans -= C(n+m-1-temp,n-1);
            else
                ans += C(n+m-1-temp,n-1);
        }
        ans = (ans%mod+mod)%mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }

    return 0;
}