51 Nod 1051 最大子矩阵和 (DP)

最新推荐文章于 2019-08-15 21:20:00 发布

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本文介绍了一种寻找矩阵中具有最大和的子矩阵的算法实现，通过动态规划的方法压缩状态，适用于M*N的矩阵，包括关键步骤如状态转移方程及代码实现。

题意：

一个M*N的矩阵，找到此矩阵的一个子矩阵，并且这个子矩阵的元素的和是最大的
，输出这个最大的值。
例如：3*3的矩阵：
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2
和最大的子矩阵是：
3 -1
-1 3
1 2
Input
第1行：M和N，中间用空格隔开（2 <= M,N <= 500)。
第2 - N + 1行：矩阵中的元素，每行M个数，中间用空格隔开。(-10^9 <= M[i] <= 10^9)
Output
输出和的最大值。如果所有数都是负数，就输出0。
Input示例
3 3
-1 3 -1
2 -1 3
-3 1 2
Output示例
7

思路：

我们知道在数组是一维的情况下，可以求出最大的值。二维数组类似于一维数组，
可以压缩状态，我们可以枚举最大的子矩阵从i到j行，每一种情况计算出最大的值，保
留最大的值。
注意：对于压缩状态的时候，有两个公式，其实并不是什么公式，而是一个表格存在
的规律。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int INF = 1000000005;
const int maxn = 505;

int n,m;
int a[maxn][maxn];
long long dp[maxn][maxn];

long long solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = 1;j <= m; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    long long M = -INF;
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = i;j <= n; j++) {
            long long sum = 0;
            for(int k = 1;k <= m; k++) {
                long long temp = dp[j][k] - dp[j][k-1] - dp[i-1][k] + dp[i-1][k-1];
                if(sum > 0)
                    sum += temp;
                else
                    sum = temp;
                if(sum > M)
                    M = sum;
            }
        }
    }
    return M;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);

    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = 1;j <= m; j++) {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }

    printf("%I64d\n",solve());

    return 0;
}

同理：POJ 1050 也是这样，不过这里是N*N的矩阵。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int INF = 1000000005;
const int maxn = 505;

int n,m;
int a[maxn][maxn];
long long dp[maxn][maxn];

long long solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = 1;j <= n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    long long M = -INF;
    for(int i = 1;i <= n; i++) {
        for(int j = i;j <= n; j++) {
            long long sum = 0;
            for(int k = 1;k <= n; k++) {
                long long temp = dp[j][k] - dp[j][k-1] - dp[i-1][k] + dp[i-1][k-1];
                if(sum > 0)
                    sum += temp;
                else
                    sum = temp;
                if(sum > M)
                    M = sum;
            }
        }
    }
    return M;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);

    scanf("%d",&n);
        for(int i = 1;i <= n; i++) {
            for(int j = 1;j <= n; j++) {
                scanf("%d",&a[i][j]);
            }
        }
        printf("%I64d\n",solve());
    return 0;
}