学习模式上的记录之数值计算篇-显式和隐式

之前理解的是，未知数（所要求解的变量）分布在等式的两边就是隐式，在一边就是显式，但是跟X哥讨论的时候，X哥说‘表达成时间项，应该算是显式了’，想再求证一下，就把显式和隐式表达总结在这里。
查到这个博文有这么讲的：
“*所谓显式和隐式，是指求解方法的不同，即数学上的出发点不一样。并不是说显式只能求动力学问题，隐式只能求静力学问题，只是求解策略不通。

显式求解是对时间进行差分，不存在迭代和收敛问题，最小时间步取决于最小单元的尺寸。过多和过小的时间步往往导致求解时间非常漫长，但总能给出一个计算结果。解题费用非常昂贵。因此在建模划分网格时要非常注意。

隐式求解和时间无关，采用的是牛顿迭代法（线性问题就直接求解线性代数方程组），因此存在一个迭代收敛问题，不收敛就的不到结果。

两者求解问题所耗时间的长短理论上无法比较。实际应用中一般感觉来说显式耗时多些。由于两者解题的出发点，所以一般来说显式用于求解和时间相关的动力学问题。隐式用来求解和时间无关的静力学问题。但也不是绝对的。比如，用隐式求解时，为了克服迭代不收敛，改用显式算，但是要多给点时间，这样虽然克服了不收敛的问题，但是求解的时间费用也是相当客观的。另外，隐式也可以求解动力学问题。*”
参见：https://www.yisu.com/zixun/108221.html
复习一下泰勒定理：

其实是这么个引入逻辑：
显/隐方程→显/隐函数→显/隐式→显/隐式方法
这里先提醒一下，注意函数三要素：定义域、值域、对应法则。尤其注意对应，函数表示每个输入值对应唯一输出值。

首先说隐式方程，隐式方程是形同 f(x1, x2, …, xn)=0 的关系，其中***f***是多元函数。
再说隐函数，隐函数就是由隐式方程所隐含定义的函数，比如 y=sqrt(1-x²) 是由 x²+y²-1=0 确定的函数。那么相应的，显函数就是可以直接用含自变量的算式表示的函数，也就是通常说的函数，如 ***y=cos⁡(x)***。
第三说显格式和隐格式，我们以计算流体力学中的方程为例。
对一个偏微分方程，采用有限差分来近似得到差分方程，如热传导方程：

用一阶前差代替 ∂T/∂x ，得：

上角标n代表不同时间，下角标i代表不同位置。
用中心差分代替(∂²T)/(∂x²)，得：

从而可以得到：

因此，我们可以用有限差分来表示该偏微分方程：

这个方程就是差分方程。
进入正题：
显格式
整合式1，得：

通过该差分方程，只要知道初始时刻不同位置的值，就可以利用初值不断进行推进求解，从而得到不同时刻的解。
显然，每一个差分方程都只含一个未知数，因此可以直接求解，将这种格式的差分方程成为显格式，可见是类似于显函数的定义的。
隐格式
整合式1，把空间差分写成n和n+1时刻的平均，得：

上述格式叫C-N格式。
该格式包含了三个未知数（n+1时刻对应的三个值），因此不能单数求解，而是需要将该方程所有点的表达式联合起来求解。
将上式进行整理，把未知数写在左端，把已知数写在右端，得：

为简化书写，令：

则方程可以简化为：

依次在网格 2-6 应用格式：

边界上的约束条件给定T1, T7，因此5个方程，5个未知数，可以写成矩阵的形式：

采用Tomas方法求解上面的三对角阵即可。

显然，隐格式的求解比较复杂，那为什么还要用？
这是因为在显式方法中，需要给定一个合适的Δt,如果Δt过大，推进求解就会不稳定，可能出现数值达到无穷大或者对负数开根号等无法计算的情况，因此会选取较小的Δt，导致网格点增多，总计算时间延长。
隐式方法对Δt就没有这样的要求。
感谢下面的知乎作者，上面很详细的计算过程参见：https://zhuanlan.zhihu.com/p/136564204