树和遍历（先、中、后）

最新推荐文章于 2021-08-25 10:19:01 发布

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本文详细介绍了树和二叉树的概念，包括树的结点类型、深度以及二叉树的特性。二叉树分为普通、满二叉树和完全二叉树，重点讲解了它们的存储结构和遍历方式，如前序、中序和后序遍历。此外，还提供了一个C语言实现的二叉树创建和遍历的代码示例。

一、树

1、树的概念

不包含回路的连通无向图（简单的非线性结构）

一棵树中任意两个结点有且仅有唯一的一条路径连通
一棵树如果有n个结点，那它一定恰好有n-1条边
在一棵树中加一条边将会构成一个回路
树中有且仅有一个没有前驱的结点称为根结点

2、结点

树中的每个点称为结点，

3、根结点

没有父结点的结点

4、叶结点

没有子结点的结点

5、内部结点

一个结点既不是根结点也不是叶结点

6、深度

指从根结点到这个结点的层数，根结点为第一层（比如上图左边的树的4号结点深度是3）

二、二叉树

普通二叉树：

概念

二叉树是一种非线性结构，二叉树是递归定义的，其结点有左右子树之分

二叉树的存储结构

二叉树通常采用链式存储结构，存储结点由数据域和指针域（指针域：左指针域和右指针域）组成，二叉树的链式存储结构也称为二叉链表，对满二叉树和完全二叉树可按层次进行顺序存储

特点：

1、每个结点最多有两颗子树

2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒

3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树

4、二叉树可为空，空的二叉树没有结点，非空二叉树有且仅有一个根节点

二叉树中有两种特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树

满二叉树

概念

一棵深度为k且有个结点的二叉树称为满二叉树

满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树：

概念

一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

理解：如果一颗二叉树除最右边位置上有一个或几个叶结点缺少外，其他是丰满的那么这样的二叉树就是完全二叉树（除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点）

为了方便理解请看下图（个人理解：完全二叉树就是从上往下填结点，从左往右填，填满了一层再填下一层）

二叉树相关词语解释：

结点的度

结点拥有的子树的数目

叶子结点

度为0的结点（tips：在任意一个二叉树中，度为0的叶子结点总是比度为2的结点多一个）

分支结点

度不为0的结点

树的度

树中结点的最大的度

层次

根结点的层次为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结点的层次加1

树的高度

树中结点的最大层次

二叉树基本性质

在二叉树的第k层上至多有2k-1个结点（k>=1）
在深度为m的二叉树至多有2m-1个结点
对任意一颗二叉树，度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个
具有n个结点的完全二叉树的深度至少为[log2n]+1，其中[log2n]表示log2n的整数部分

存储方式

存储的方式和图一样，有链表和数组两种，用数组存访问速度快，但插入、删除节点操作就比较费时了。实际中更多的是用链来表示二叉树（下面的实现代码使用的是链表）

实现代码：

复制代码

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <stdlib.h>
 3 #define N 10
 4 
 5 typedef struct node
 6 {
 7     char data;
 8     struct node *lchild;    /* 左子树 */
 9     struct node *rchild;    /* 右子树 */
10 
11 }BiTNode, *BiTree;    
12 
13 void CreatBiTree (BiTree *T) /* BiTree *T等价于 struct node **T    */
14 {
15     char ch;
16     
17     scanf("%c", &ch);
18     if (ch == '#')    /* 当遇到#时，令树的结点为NULL，从而结束该分支的递归 */
19     {
20         *T = NULL;
21     }
22     else
23     {
24         *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
25         if (*T == NULL)
26         {
27             printf("内存分配失败");
28             exit(0);
29         }
30         (*T)->data = ch;        /* 生成结点 */
31         CreatBiTree(&(*T)->lchild);    /* 构造左子树 */
32         CreatBiTree(&(*T)->rchild);    /* 构造右子树 */
33         /* 这里需要注意的是->的优先级比&高，所以&(*T)->lchild得到的是lchild的地址 */
34     }
35 
36 }
37 int main()
38 {
39     int level  = 1;
40 
41     BiTree t = NULL;
42     printf("以前序遍历方式输入二叉树\n");
43     CreatBiTree(&t);    /* 传入指针的地址 */
44 }

复制代码

上面的代码采用的是以前序遍历方式输入二叉树，当输入“#”时，指针指向NULL，说明是改结点是叶结点

三、二叉树的遍历（先序\中序\后序遍历）

二叉树的遍历是指不重复地访问二叉树中所有结点，主要指非空二叉树，对于空二叉树则结束返回，二叉树的遍历主要包括先序遍历、中序遍历、后序遍历（也称为先跟、中跟、后跟遍历）

先序遍历

首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树（根->左->右）

顺序：访问根节点->前序遍历左子树->前序遍历右子树

复制代码

 1 /* 以递归方式 前序遍历二叉树 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
 3 {
 4     if (t == NULL)    
 5     {
 6         return ;
 7     }
 8     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
 9     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
10     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
11 }

复制代码

中序遍历

首先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树（左->根->右）

顺序：中序遍历左子树->访问根节点->中序遍历右子树

复制代码

 1 /* 以递归方式 中序遍历二叉树 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
 3 {
 4     if (t == NULL)    
 5     {
 6         return ;
 7     }
 8     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
 9     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
10     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
11 }

复制代码

后序遍历

首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点（左->右->根）

顺序：后序遍历左子树->后序遍历右子树->访问根节点

复制代码

 1 /* 以递归方式 后序遍历二叉树 */
 2 void PreOrderTraverse(BiTree t, int level)
 3 {
 4     if (t == NULL)    
 5     {
 6         return ;
 7     }
 8     PreOrderTraverse(t->lchild, level + 1);
 9     PreOrderTraverse(t->rchild, level + 1);
10     printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);
11 }

复制代码

从上面可以看出，三种遍历方式极其相似，只是语句 printf("data = %c level = %d\n ", t->data, level);的位置发生了变化