图解数据分析(3) | 数据分析的数学基础（数据科学家入门·完结）

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原创 2022-08-10 14:12:06 1.2w 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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作者：韩信子@ShowMeAI
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一、一维：描述性统计

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描述性统计量分为：集中趋势、离散程度（离中趋势）和分布形态。

1.1 集中趋势

数据的集中趋势，用于度量数据分布的中心位置。直观地说，测量一个属性值的大部分落在何处。描述数据集中趋势的统计量是：平均值、中位数、众数。

（1）平均值（Mean）

指一组数据的算术平均数，描述一组数据的平均水平，是集中趋势中波动最小、最可靠的指标，但是均值容易受到极端值（极小值或极大值）的影响。

（2）中位数（Median）

指当一组数据按照顺序排列后，位于中间位置的数，不受极端值的影响，对于定序型变量，中位数是最适合的表征集中趋势的指标。

（3）众数（Mode）

指一组数据中出现次数最多的观测值，不受极端值的影响，常用于描述定性数据的集中趋势。

1.2 离散程度

数据的离散趋势，用于描述数据的分散程度，描述离散趋势的统计量是：极差、四分位数极差（IQR）、标准差、离散系数。

（1）极差（Range）

又称全距，记作R，是一组数据中的最大观测值和最小观测值之差。一般情况下，极差越大，离散程度越大，其值容易受到极端值的影响。

（2）四分位数极差（Inter-Quartile Range， IQR）

又称内距，是上四分位数和下四分位数的差值，给出数据的中间一半所覆盖的范围。IQR是统计分散程度的一个度量，分散程度通过需要借助箱线图（Box Plot）来观察。通常把小于 $Q 1 - 1.5 * I QR$ 或者大于 $Q 3 + 1.5 * I QR$ 的数据点视作离群点。

（3）方差（Variance）

方差和标准差是度量数据离散程度时，最重要】最常用的指标。方差，是每个数据值与全体数据值的平均数之差的平方值的平均数，常用 $\sigma ^{2}$ 表示。

$\sigma^{2} = \frac{\sum \left ( X - \mu \right )^{2}}{N} $

（4）标准差（Standard Deviation）

又称均方差，常用 \sigma 表示，是方差的算术平方根。计算所有数值相对均值的偏离量，反映数据在均值附近的波动程度，比方差更方便直观。

$\sigma = \sqrt{\frac{\sum \left ( X - \mu \right )^{2} }{N} }$

（5）离散系数（Coefficient of Variation）

又称变异系数，为标准差 \sigma 与平均值 \mu 之比，用于比较不同样本数据的离散程度。离散系数大，说明数据的离散程度大；离散系数小，说明数据的离散程度也小。

$C_{v} = \frac{\sigma}{\mu}$

1.3 分布形态

（1）偏度（Skewness）

用来评估一组数据分布呈现的对称程度。

当偏度系数=0时，分布是对称的
当偏度系数>0时，分布呈正偏态（右偏）
当偏度系数<0时，分布呈负偏态（左偏）

（2）峰度（Kurtosis）

用来评估一组数据的分布形状的高低程度的指标。

当峰度系数=0时，是正态分布
当峰度系数>0时，分布形态陡峭，数据分布更集中
当峰度系数<0时，分布形态平缓，数据分布更分散

（3）其他数据分布图

分位数是观察数据分布的最简单有效的方法，但分位数只能用于观察单一属性的数据分布。散点图可以用来观察双变量的数据分布，聚类可以用来观察更多变量的数据分布。通过观察数据的分布，采用合理的指标，使数据的分析更全面，避免得出像平均工资这类偏离事实的的分析结果。

二、交叉维度

2.1 相关性和线性回归

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（1）相关系数

又称简单相关系数，常用 r 表示，反应两个变量之间的相关关系及相关方向。

（2）线性回归（Linear Regression）

线性回归是利用数理统计中回归分析，确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系。

回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。

2.2 方差分析

（1）单因素方差分析

一项试验只有一个影响因素，或者存在多个影响因素时，只分析一个因素与响应变量的关系。

（2）多因素有交互方差分析

一项实验有多个影响因素，分析多个影响因素与响应变量的关系，同时考虑多个影响因素之间的关系。

三、概率论

速查表

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3.1 概率事件

（1）独立事件

$P\left ( A\cap B \right ) = P(A)P(B)$

（2）对立事件

$P (A) = 1 - P (B)$

（3）互斥事件

$P\left ( A\cap B \right ) = 0$

（4）穷举事件

$P\left ( A\cup B \right ) = 1$

3.2 条件概率

（1）条件概率

$\mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

（2）全概率公式

$P(\bar{A} B) = P(A)P(B \mid A) + P(\bar{A} )P(B \mid \bar{A} )$

（3）贝叶斯定理

$\mid B) = \frac{ P(A)P(B \mid A) }{ P(A)P(B \mid A) + P(\bar{A})P(B \mid \bar{A}) }$

3.3 排列组合

（1）排列

$P_{n}^{N} = n! \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} = \frac{N!}{ \left (N-n \right )! }$

（2）组合

$C_{n}^{N} = \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} = \frac{N!}{n! \left (N-n \right )! }$

3.4 概率分布

（1）连续型概率分布

正态分布：正态概率分布是连续型随机变量中最重要的分布，记为

$x\sim N\left (\mu ， \sigma^{2} \right)$

经验法则：正态随机变量有69.3%的值在均值加减个标准差的范围内，95.4%的值在两个标准差内，99.7%的值在三个标准差内。

（2）离散型概率分布

伯努利分布

进行一次实验，若成功则随机变量取值为1，若失败则取值为0，成功的概率为p失败的概率为1-p

二项分布

n个独立的是/非实验中，成功次数的概率分布。n=1时，二项分布就是伯努利分布

泊松分布

在连续时间或空间单位上发生随机事件次数的概率。记为$$$$

四、统计推断

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4.1 抽样

抽样：应该满足抽样的随机性原则。
抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样、系统抽样

4.2 置信区间

4.3 假设检验

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