dp类问题总结

一维与二维动态规划入门

入门级dp,一维dp:
常解决问题,N通过K项操作变为M,例如CF520B;

进阶型dp,二维dp:
常解决问题,一串N个数字序列,求K组M个连续数字之和最大为难题,例如CF467C;

### 动态规划的常见分总结 动态规划作为一种重要的算法设计方法,其应用场景非常广泛。根据问题的特点和解决思路的不同,动态规划可以分为多种别。以下是常见的动态规划分及其特点描述: #### 1. **线性 DP** 线性 DP 是最基础的一动态规划问题,适用于处理一维数组或序列上的优化问题。这问题通常涉及从前向后的状态转移过程。 - 经典题目:最长上升子序列(LIS)、最大字段和模型等。 - 特点:状态通常是基于单个变量定义的,例如 `f[i]` 表示以第 `i` 个元素结尾的最大值[^2]。 #### 2. **区间 DP** 当问题涉及到一段连续区间的最优解时,可考虑使用区间 DP。它的核心在于枚举所有可能的分割点,并从中选取最优方案。 - 经典题目:石子合并、括号序列模型等。 - 特点:状态一般表示为 `f[l][r]`,代表从位置 `l` 到位置 `r` 的某个属性值[^2]。 #### 3. **树形 DP** 对于树结构上的动态规划问题,称为树形 DP。该问题需要遍历整棵树,并在节点之间传递信息完成计算。 - 经典题目:最小支配集、最大独立集等。 - 特点:状态往往依赖于父节点与子节点的关系,递归形式较为普遍[^2]。 #### 4. **状态压缩 DP** 当状态数量有限且可以用二进制编码表达时,适用状态压缩 DP 方法。这种方式能够有效减少内存消耗并提高运行速度。 - 经典题目:旅行商问题(TSP)、棋盘覆盖等。 - 特点:利用位运算技术对集合进行紧凑表示,如用一个整数记录哪些元素被选中。 #### 5. **背包问题** 这是另一大典型的动态规划问题,主要研究资源分配下的最大化收益情形。依据物品是否允许拆分又细分为若干种变体。 - 常见型: - 完全背包 - 多重背包 - 分组背包 - 混合背包 - 特点:每件商品都有重量和价值两个维度参数约束着决策过程[^2]。 --- ### 空间优化技巧 值得注意的是,在具体实现过程中还可以采取措施降低空间复杂度。比如针对只与前后少数几个阶段相关的场景,可以把原本高维的状态数组替换为低维甚至固定大小缓冲区的形式来维护必要数据[^3]。 ```python # 示例代码展示如何将O(n)空间降至O(1) def max_subarray_sum(nums): if not nums: return 0 pre = cur = nums[0] result = cur for num in nums[1:]: cur = max(num, pre + num) result = max(result, cur) pre = cur return result ``` 以上就是关于动态规划的一些基本分介绍及相关实例解析[^2]。 ---
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