每日一道算法题——爬楼梯

题目：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
   示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

解答：

递归：

对于任何n>=3的输入，都可以分解为先走1步然后再走(n-1)步+先走2步然后再走(n-2)步。
因此可得： f(n) = f(n - 1) + f(n - 2), n>= 3

#include<stdio.h>

int climbStairs(int n)
{
	int res=0;
	if(n==0)
		return 0;
	if(n==1)
		return 1;
	if(n==2)
		return 2;

	res=climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
	return res;
}

int main(int argc, const char *argv[])
{
	int a;
	scanf("%d",&a);
	printf("%d\n",climbStairs(a));
	return 0;
}

动态规划：

不难发现，这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。

第 i 阶可以由以下两种方法得到：

在第 (i-1)) 阶后向上爬一阶。

在第 (i-2) 阶后向上爬 2 阶。

所以到达第 i阶的方法总数就是到第 (i−1) 阶和第 (i−2) 阶的方法数之和。

令 dp[i]表示能到达第 i 阶的方法总数：

dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
int climbStairs(int n)
{
	if(n<0)
		return -1;

	int *res=malloc(sizeof(int)*(n+1));
	res[0]=1;
	res[1]=2;
	int i;
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		res[i]=res[i-1]+res[i-2];
	}

	printf("%d",res[n-1]);
	return res[n-1];
}

int main(int argc, const char *argv[])
{
	int a;
	scanf("%d",&a);
	climbStairs(a);
	return 0;
}