有找零钱说起……

丢人了，Projece Euler上的第31问做了两天都还没搞定。不难啊，可脑子就是想不清楚，唉，老矣。

题目是这样的：现有面值为1分、2分、5分、10分、20分、50分、1磅（100分）、2磅（200分）的硬币，问2磅钱可以有多少种兑换方案？

这是经典的找零钱问题。

我是这么考虑的，既然要求所有的兑换方案，那我只要把问题规约到这些面额组成的集合的子集上就行了。当我用某一子集来兑换时，该子集上的每种硬币至少含1枚。 我们来看个简化的实例：现有1分、2分和5分三种硬币，兑换10分钱有多少种方法？

当我们去集合{1, 2, 5}时，因为5+2+1已经是8了，故只要再加上2的方案，即，5+2+2+1, 5+2+1+1+1；

当我们去集合{2, 5}时，因为5+2=7，而3不可能用{2, 5} 的整数线性组合来得到，故在这种情况下不存在兑换方案；

当我们去集合{1, 5}时，方案为：5+1+1+1+1+1；

当我们去集合{1, 2}时，方案为：2+2+2+2+1+1, 2+2+2+1+1+1+1, 2+2+1+1+1+1+1+1, 2+1+1+1+1+1+1+1+1；

当我们去集合{5}时，方案为：5+5；

当我们去集合{2}时，方案为：2+2+2+2+2；

当我们去集合{1}时，方案为：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1；

共10种方案。

• 递归解法

但其实不用这么麻烦，设可选的硬币面值分别为{S₁, S₂, ...... , S_m}，用这些面额的硬币来兑换n分钱有count(n, {S₁, S₂, ...... , S_m})种方法。有两种不同的兑换方式：

兑换的硬币面额中没有S_m，即count(n, {S₁, S₂, ...... , S_m})；

兑换的零钱中至少有一枚S_m分的硬币，即count(n-S_m, {S₁, S₂, ...... , S_m})。

 

可我有个疑问，对于第二种情况，count(n-S_m, {S₁, S₂, ...... , S_m})真的能代表包含Sm分硬币的所有方案吗？我们需要论证，在只使用{S₁, S₂, ...... , S_m}硬币时，含Sm分硬币的n分兑换方案数不比n-S_m分的少。用反证法，如果n-S_m分的方案数比n分的多，那么在多的那些方案中添上一枚S_m分硬币即可得到新的兑换方案，矛盾。同样，如果n-S_m分的方案数比n分的少，那么在n分兑换方案中多的那些方案中剔除一枚S_m分硬币（这些方案至少有一枚S_m分硬币）即可得到新n-Sm分兑换方案，也矛盾。

这里还隐含了：count(S_m-S_m, {S₁, S₂, ...... , S_m}) = 1

还是那个例子：

 1: 1

 2: 2, 1+1

 3: 2+1, 1+1+1

 4: 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1

 5: 5, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

 6: 5+1, 2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1

 7: 5+2, 5+1+1, 2+2+2+1, 2+2+1+1+1, 2+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1

 8: 5+2+1, 5+1+1+1, 2+2+2+2, 2+2+2+1+1, 2+2+1+1+1+1, 2+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1

 9: 5+2+2, 5+2+1+1, 5+1+1+1+1, 2+2+2+2+1, 2+2+2+1+1+1, 2+2+1+1+1+1+1, 2+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1

10: 5+5, 5+2+2+1, 5+2+1+1+1, 5+1+1+1+1+1, 2+2+2+2+2, 2+2+2+2+1+1, 2+2+2+1+1+1+1, 2+2+1+1+1+1+1+1, 2+1+1+1+1+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

以6为例，兑换方案分为两组：

一组是6中不含{5}的兑换方案：2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1, 1+1+1+1+1+1

一组是6-5的兑换方案加上5：1+5

• 生成函数解法

另一种思路来自生成函数：

要想知道为什么系数就是兑换方案的种数，请参阅：組合數學中的生成函數、什么是生成函数？

Mathematica代码：

最后给几个作弊招数：

Length@FrobeniusSolve[{1,2,5,10,20,50,100,200},200] 

Length[IntegerPartitions[200, All, {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200}]] 

Length[Reduce[ 1*a + 2*b + 5*c + 10*d + 20*e + 50*f + 100*g + 200*h == 200 && a >= 0 && b >= 0 && c >= 0 && d >= 0 && e >= 0 && f >= 0 && g >= 0 && h >= 0, {a, b, c, d, e, f, g, h}, Integers]] 

P.S. 优快云的编辑器实在太烂了-_-！