轨道动力学程序基本测试方法

轨道动力学程序基本测试方法

1. 引言

轨道动力学程序的正确性是计算轨道特性和验证姿轨控程序的必要条件，而轨道动力学程序也需要严格可信的验证和测试。
在轨道与位置动力学仿真中，“程序能跑”不等于“动力学是对的”。
由于数值积分、坐标系、符号方向、力模型等问题，错误的动力学程序往往可以给出“看起来合理”的轨迹，但其物理意义是错误的。

因此，在引入复杂摄动力、姿态耦合或控制算法之前，必须建立一套基于最基本物理规律的位置动力学验证方案。
本文给出一套工程可落地、结论可信、易于自动化的轨道动力学基本性测试方法。

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2. 验证对象与基本假设

2.1 验证对象

• 质点位置动力学仿真程序
• 状态变量为$(\mathbf{r},\mathbf{v})$
• 数值积分方式不限（RK4、RKF、ODE113 等）

2.2 基本假设

• 惯性参考系（如 ECI）
• 地心引力，两体问题
• 无摄动力、无推力、无非惯性力

动力学模型为：
$$\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v}$$
$$\dot{\mathbf{v}}=-\mu \frac{\mathbf{r}}{r^3}$$
其中$r=|\mathbf{r}|$，$\mu =GM$。

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3. Level 0：数值与物理一致性检查

3.1 单位与量纲验证

这是最容易忽略但最致命的一步。

• $\mathbf{r}$：m
• $\mathbf{v}$：m/s
• $\mathbf{a}$：m/s²
• $\mu$：m³/s²

加速度模型应为：
$$\mathbf{a}=-\mu \frac{\mathbf{r}}{r^3}$$

判断条件

• 数值量级合理（LEO 轨道$|\mathbf{a}|\approx 8\sim 9{\text{m/s}}^2$）
• 不出现异常放大或衰减

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4. Level 1：圆轨道基准测试

4.1 圆轨道初始条件构造

选择最简单、解析解明确的情况：

$$|{\mathbf{r}}_0|=R$$
$$|{\mathbf{v}}_0|=\sqrt{\mu /R}$$
$${\mathbf{r}}_0\cdot {\mathbf{v}}_0=0$$

并令轨道位于 XY 平面。

4.2 位置与速度分量行为

理论解为：
$$x(t)=R\cos (\omega t),y(t)=R\sin (\omega t)$$
$$v_x(t)=-R\omega \sin (\omega t),v_y(t)=R\omega \cos (\omega t)$$
其中：
$$\omega =\sqrt{\mu /R^3}$$

测试方法

• 将数值结果与正弦函数对比
• 检查幅值、相位、周期稳定性

判断条件

• 无相位漂移
• 周期与理论一致
• 分量连续、光滑

该测试对符号错误、坐标轴混乱极为敏感，是最有效的“低级错误过滤器”。

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4.3 模长守恒

对于圆轨道：

$$|\mathbf{r}(t)|=R$$
$$|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\mu /R}$$

判断条件

• 相对误差小于给定阈值
• 无随时间累积的漂移

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5. Level 2：守恒律验证（物理正确性的核心）

5.1 角动量守恒

角动量定义为：
$$\mathbf{h}=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$$

在中心引力场中：

• 大小守恒
• 方向守恒

判断条件

• $|\mathbf{h}(t)|$为常数
• $\mathbf{h}$方向不随时间旋转

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5.2 机械能守恒

机械能为：
$$E=\frac{1}{2}{v}^2-\frac{\mu }{r}$$

判断条件

• $E(t)$为常数
• 允许数值振荡，但不允许单调漂移

能量是对积分器稳定性最敏感的指标，建议作为自动化回归测试项。

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5.3 关于线动量的说明

在地心引力场中：

• 单个质点的线动量不守恒
• 因此外力场下不将其作为验证指标

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6. Level 3：椭圆轨道一致性验证

6.1 Vis-Viva 方程验证

椭圆轨道满足：
$$v^2=\mu \left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)$$

测试方法

• 数值计算$r(t)$与$v(t)$
• 验证是否满足上述关系

判断条件

• 曲线吻合
• 反算半长轴$a$为常数

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6.2 拉普拉斯–龙格–楞次向量

定义：
$$\mathbf{e}=\frac{\mathbf{v}\times \mathbf{h}}{\mu }-\frac{\mathbf{r}}{r}$$

其性质：

• 方向指向近地点
• 模长等于偏心率$e$

判断条件

• $|\mathbf{e}|$恒定
• $\mathbf{e}$方向不旋转

这是对“是否严格为$1/r^2$引力”的强验证。

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7. Level 4：轨道根数稳定性

由$(\mathbf{r},\mathbf{v})$反算轨道根数：

• 半长轴$a$
• 偏心率$e$
• 倾角$i$
• 升交点赤经$\Omega$
• 近地点幅角$\omega$

判断条件

• $a,e,i,\Omega ,\omega$为常数
• 真近点角$\nu$单调变化

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8. Level 5：时间反演一致性（终极数值验证）

8.1 测试流程

1. 正向积分时间$T$
2. 速度取反$\mathbf{v}\to -\mathbf{v}$
3. 再积分时间$T$

8.2 判断条件

$$|{\mathbf{r}}_{end}-\mathbf{r}\ast 0|<\epsilon$$
$$|\mathbf{v}\ast end+{\mathbf{v}}_0|<\epsilon$$

该测试可有效暴露积分器非对称误差与隐藏不一致。

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9. 推荐的自动化测试执行顺序

1. 单位与加速度量级
2. 圆轨道正弦分量
3. |r|、|v| 守恒
4. 角动量守恒
5. 机械能守恒
6. vis-viva 方程
7. LRL 向量守恒
8. 轨道根数稳定
9. 时间反演

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10. 总结

轨道动力学仿真的正确性不能依赖“轨迹看起来对”。
只有从最简单物理事实出发，逐层引入不变量与几何约束，才能获得可信的结论。

一句话概括：

• 圆轨道验证结构正确，
• 守恒律验证物理正确，
• 几何不变量验证模型严格，
• 时间反演验证数值可靠。