卫星姿轨控中的运动学与动力学

卫星姿轨控中的运动学与动力学

在航天器控制系统中，姿态轨道控制（简称“姿轨控”）是确保卫星在轨稳定运行、精确指向和轨道维持的关键技术。其理论基础主要由 运动学（Kinematics） 与 动力学（Dynamics） 两大部分构成。虽然两者紧密关联，但在建模目的、研究对象和数学表达上存在显著差异。本文将系统介绍姿轨控中运动学与动力学的基本概念、核心公式、研究对象、实际应用场景，并通过具体例子阐明二者的区别与联系。

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一、基本概念

1.1 运动学（Kinematics）

运动学描述的是物体运动的几何特性，不涉及引起运动的力或力矩。在卫星姿轨控中，运动学主要关注：

• 姿态角随时间的变化（如欧拉角、四元数）
• 角速度与姿态之间的微分关系
• 位置与速度随时间的演化（轨道运动学）

其本质是“如何运动”，而非“为何如此运动”。

1.2 动力学（Dynamics）

动力学研究的是力（或力矩）与运动之间的因果关系，即由外力/力矩引起的状态变化。在姿轨控中，动力学描述：

• 角动量变化与外力矩的关系（欧拉方程）
• 轨道摄动与外力（如重力、大气阻力、太阳光压）的关系

其核心问题是“为何这样运动”，依赖牛顿力学或拉格朗日/哈密顿力学框架。

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二、研究对象

类别	运动学	动力学
姿态控制	姿态参数（四元数、欧拉角）、角速度	刚体转动惯量、外力矩（控制力矩、干扰力矩）
轨道控制	位置、速度、轨道根数（如半长轴、偏心率）	引力场、摄动力、推力

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三、核心公式

3.1 姿态运动学

常用四元数 $\mathbf{q}=[q_0,q_1,q_2,q_3{]}^T$ 表示卫星本体坐标系相对于惯性系的旋转。四元数与角速度 $\mathbf{\omega }=[{\omega }_x,{\omega }_y,{\omega }_z{]}^T$ 的关系为：

$$\dot{\mathbf{q}}=\frac{1}{2}\mathbf{\Omega }(\mathbf{\omega })\mathbf{q}$$

其中，

$$\mathbf{\Omega }(\mathbf{\omega })=\left[\begin{array}{cccc}0& -{\omega }_x& -{\omega }_y& -{\omega }_z\\ {\omega }_x& 0& {\omega }_z& -{\omega }_y\\ {\omega }_y& -{\omega }_z& 0& {\omega }_x\\ {\omega }_z& {\omega }_y& -{\omega }_x& 0\end{array}\right]$$

若使用欧拉角（如3-2-1滚动-俯仰-偏航顺序），角速度与欧拉角速率 $\dot{\mathbf{\theta }}=[\dot{\varphi },\dot{\theta },\dot{\psi }{]}^T$ 的关系为：

$$\mathbf{\omega }=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -\sin \theta \\ 0& \cos \varphi & \sin \varphi \cos \theta \\ 0& -\sin \varphi & \cos \varphi \cos \theta \end{array}\right]\dot{\mathbf{\theta }}$$

3.2 姿态动力学（刚体欧拉方程）

对于刚体卫星，忽略柔性模态，其角动量 $\mathbf{H}=\mathbf{J}\mathbf{\omega }$，其中 $\mathbf{J}$ 为惯量张量。由角动量定理 $\dot{\mathbf{H}}=\mathbf{\tau }$，可得：

$$\mathbf{J}\dot{\mathbf{\omega }}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{J}\mathbf{\omega })=\mathbf{\tau }$$

其中 $\mathbf{\tau }$ 为作用在卫星上的总力矩（包括控制力矩 ${\mathbf{\tau }}_c$ 和干扰力矩 ${\mathbf{\tau }}_d$）。

该方程是非线性的，体现了陀螺耦合效应（gyroscopic coupling）。

3.3 轨道运动学

在惯性系中，卫星位置 $\mathbf{r}$ 与速度 $\mathbf{v}$ 满足：

$$\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{v},\dot{\mathbf{v}}=\mathbf{a}$$

其中 $\mathbf{a}$ 为加速度——这本身是运动学关系。但 $\mathbf{a}$ 的来源由动力学决定。

3.4 轨道动力学（二体问题）

在理想二体引力场中（忽略摄动），动力学方程为：

$$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{\mu }{r^3}\mathbf{r}$$

其中 $\mu =GM$ 为中心天体引力常数，$r=\Vert \mathbf{r}\Vert$。

若考虑摄动力 ${\mathbf{a}}_p$（如大气阻力、太阳光压、地球非球形引力），则：

$$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{\mu }{r^3}\mathbf{r}+{\mathbf{a}}_p+\frac{{\mathbf{F}}_{\text{thrust}}}{m}$$

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四、实际应用举例

4.1 姿态运动学应用：星敏感器数据融合

星敏感器输出的是以四元数或方向余弦矩阵表示的姿态。控制系统需通过运动学方程将角速度陀螺仪（测量 $\mathbf{\omega }$）的数据与星敏姿态进行融合（如使用扩展卡尔曼滤波 EKF）。此处仅需运动学模型即可预测姿态演化：

$${\hat{\mathbf{q}}}_{k+1}={\mathbf{q}}_k\otimes \left(\cos \frac{\Vert \mathbf{\omega }\Vert \Delta t}{2},\frac{\mathbf{\omega }}{\Vert \mathbf{\omega }\Vert }\sin \frac{\Vert \mathbf{\omega }\Vert \Delta t}{2}\right)$$

无需求解动力学方程。

4.2 姿态动力学应用：飞轮控制律设计

当设计反作用飞轮（Reaction Wheel）控制律时，必须考虑卫星本体的转动惯量和陀螺耦合。例如，采用 PD 控制：

$${\mathbf{\tau }}_c=-K_p{\mathbf{e}}_q-K_d\mathbf{\omega }$$

但执行该力矩时，需通过动力学方程反推飞轮所需的角加速度：

$${\mathbf{J}}_w{\dot{\mathbf{\omega }}}_w=-{\mathbf{\tau }}_c$$

其中 ${\mathbf{J}}_w$ 为飞轮惯量。若忽略动力学，仅用运动学设计控制器，将导致实际控制性能下降甚至不稳定。

4.3 轨道运动学 vs 动力学：GPS 定轨

• 运动学定轨：仅利用 GPS 接收机测量的位置/速度数据，通过插值或平滑得到轨道（不依赖物理模型），适用于高精度事后处理。
• 动力学定轨：结合动力学方程与观测数据，通过最小二乘或滤波方法估计轨道状态和摄动参数，适用于实时导航和长期预报。

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五、运动学与动力学的区别与联系

5.1 区别总结

维度	运动学	动力学
研究目标	描述“如何运动”	解释“为何运动”
是否含物理参数	否（仅几何/时间关系）	是（质量、惯量、力、力矩）
方程类型	一阶微分（如 $\dot{\mathbf{q}}=f(\mathbf{\omega })$）	二阶微分（如 $\mathbf{J}\ddot{\mathbf{q}}=\mathbf{\tau }$）
控制设计用途	状态预测、传感器融合	控制律设计、执行机构建模

5.2 联系与协同

在完整的姿轨控系统中，二者缺一不可：

• 运动学提供状态转移模型：用于状态估计（如 EKF 中的预测步）。
• 动力学提供控制输入-输出映射：用于设计鲁棒控制器。

例如，在模型预测控制（MPC） 中，预测模型通常同时包含运动学与动力学方程，以高精度预测未来状态并优化控制输入。

更进一步，二者可通过微分几何或李群/李代数统一描述（如 $SO(3)$ 上的姿态运动），但工程实现中仍常分开建模以简化计算。

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六、结语

卫星姿轨控中的运动学与动力学，如同“描述语言”与“物理法则”的关系。运动学关注姿态与轨道的几何演化规律，而动力学揭示其背后的力学因果机制。在高精度任务（如对地观测、深空探测、编队飞行）中，正确建模并耦合二者，是实现亚角秒级指向精度和厘米级轨道控制的前提。

理解二者的区别与联系，不仅有助于构建更准确的仿真模型，也为先进控制算法（如自适应控制、滑模控制、非线性观测器）的设计奠定理论基础。