牛客第三场 J Wood Processing —— 斜率dp_j.wood processing(斜率dp)-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Scar_Halo/article/details/101562901

本文介绍了一种利用动态规划和斜率优化技术解决木块分组以最小化浪费面积的问题。通过将木块按高度排序并使用DP算法，结合上凸包维护最优解，实现了O(nk)的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

     $n$ 块 $w * h$ 的木块，分成 $k$ 组
    每组木块全部切成当组木块的最低高度
    求最少浪费面积

解题思路：

    首先按高度从高到低排序
     $d p [i] [k]$ 表示到第 $i$ 块，分为 $k$ 组的最大保留面积
    答案即为 $s u m - d p [n] [k]$ ，设 $p r e$ 为宽度前缀和
     $\times h[i])$
    时间复杂度： $O(n^2k)$

    考虑斜率优化，设 $j_1<j_2<i$
    当 $dp[j_1][k-1] + (pre[i] - pre[j_1]) \times h[i]$ $＜$ $dp[j_2][k-1] + (pre[i] - pre[j_2]) \times h[i]$ 时
     $j_2$ 比 $j_1$ 更优，则 $j_1$ 可以从决策集中删去

转化为 $\frac{dp[j_2][k-1] - dp[j_1][k-1]}{pre[j_2]-pre[j_1]}$ $＞$ $h [i]$

符号为大于，维护上凸包，斜率递减，由于 $h [i]$ 递减，在队首操作
时间复杂度： $O (n k)$

参考博客：暮冥

#include<bits/stdc++.h>
#define rint register int
#define deb(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
using pii = pair <ll,int>;
const int maxn = 5e3 + 5;
int n, k, q[maxn];
ll sum, pre[maxn];
ll dp[maxn][2019];

struct node{
	int w, h;
	bool operator < (const node &A){
		return h > A.h;
	}
} a[maxn];

long double slope(int x, int y, int p){
	long double t = dp[x][p-1] - dp[y][p-1];
	return t / (pre[x] - pre[y]);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d%d", &a[i].w, &a[i].h);
	sort(a+1, a+n+1);
	for(int i=1; i<=n; i++){
		pre[i] = pre[i-1] + a[i].w;
		sum += 1ll * a[i].h * a[i].w;
	}
	for(int p=1; p<=k; p++){
		int l = 0, r = 0;
		for(int i=1; i<=n; i++){
			while(l<r && slope(q[l], q[l+1], p) >= a[i].h) l++;
			dp[i][p] = dp[q[l]][p-1] + 1ll * (pre[i] - pre[q[l]]) * a[i].h;
			while(l<r && slope(q[r], q[r-1], p) <= slope(q[r], i, p)) r--;
			q[++r] = i;
		}
	}
	printf("%lld\n", sum - dp[n][k]);
}