【ACM-ICPC 2018 南京现场赛】 J.Prime Game（思维 + 素数筛）

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这篇博客介绍了如何计算每个子区间的乘积中不同质因数的个数。首先，通过素数筛选找出一定范围内的所有质数，然后对于每个输入数，遍历其质因数并使用一个位置数组记录质因数的最后出现位置，以避免重复计算。通过这种方法，可以精确计算每个数对子区间乘积质因数总个数的贡献。

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题意

题目意思就是每个子区间乘积总共有多少不同质因数。

分析

第 i 个数的质因数对总数的贡献就是 i * (n - i + 1) ，即这个数被包含在 i * (n - i + 1) 个子区间里。但是我们发现如果有两个数有同一个质因数，那么这种算法就会将一部分重复计算，于是我们可以用一个 pos 数组来记录某个质因数在前面最后出现的位置，那么公式就变成了 (i - pos[x]) * (n - i + 1) ，这样就能避免重复计算。

解决了重复计算的问题，接下来就只要解决质因数的问题就可以了。如何得到一个数的质因数？这里有一条重要的定理：每个整数都可以分解成几个素数的乘积。我们就可以先用素数筛筛选出题目数据范围内的所有素数，然后依次遍历，发现质因数就将其先除尽，如此往复，就能获得其所有质因数。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

#define maxn 1000007

ll n;
ll ans;
map<ll,ll> pos;

ll prime[maxn];
ll visit[maxn];

void Prime(){
    for (ll i = 2;i <= maxn; i++) {
        if (!visit[i]) {
            prime[++prime[0]] = i;
        }
        for (ll j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
            visit[i*prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] == 0) {
                break;
            }
        }
    }
}

int main()
{
	Prime();
	scanf("%lld",&n);
	
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		ll x;
		scanf("%lld",&x);
		for(ll j=1;1ll*prime[j]*prime[j]<=x;j++)
		{
			if(x % prime[j] == 0)
			{
				ll temp = 1ll * (i - pos[prime[j]]) * (n - i + 1);
				pos[prime[j]] = i;
				ans += temp;
				
				while(x % prime[j] == 0)
					x /= prime[j];
			}
		}	
		if(x != 1)
		{
			ll temp = 1ll * (i - pos[x]) * (n - i + 1);
			pos[x] = i;
			ans += temp;
		}
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}