计蒜客 ACM-ICPC Nanjing Onsite 2018 J. Prime Game（数论）

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这篇博客介绍了计蒜客 ACM-ICPC Nanjing Onsite 2018 中的J题——Prime Game，涉及数论知识点。题目要求计算数组a中元素的质因数个数之和的特定组合。解决方案分析了数组元素对整体值的贡献，分为质因子首次出现和非首次出现两种情况，并提供了O(nlogn)时间复杂度的算法思路和AC代码。

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计蒜客 ACM-ICPC Nanjing Onsite 2018 J. Prime Game（数论）

题目链接：https://nanti.jisuanke.com/t/A2147
题目大意：给定一组长度为 $n$ 的数组 $a$ ，求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=i}^nfac(\prod\limits_{k=i}^ja_k)$ 的值。其中 $f a c (x)$ 的值为 $x$ 的质因数个数。
题解：考虑 $a_r$ 对于整体值的贡献。显然， $a_r$ 只能对 $\sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=r}^nfac(\prod\limits_{k=i}^ja_i)$ 这一部分的值进行影响。不难看出，这一部分共包含了 $r$ 行和 $n - r + 1$ 列，是一个 $r * (n - r + 1)$ 的矩形。
对于 $a_r$ 的每一个质因子，有两种情况。
①：这个质因子是第一次出现。那么此时这个质因子对答案的贡献就为 $r * (n - r + 1)$ 。
②：这个质因子并不是第一次出现。如果我们知道这个质因子上一次出现的行位置 $p o s$ ，那么这个质因子对答案的贡献就是 $(r - p o s) * (n - r + 1)$ 。
算法此时的时间复杂度为 $O (n l o g n)$ （遍历 $n$ 个数并对每个数进行因数分解）。下面是AC代码。

#include<iostream>
#include<vector>
#include<unordered_map>
using namespace std;
#define debug(x) cerr<<#x<<":"<<x<<endl
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<":"<<x<<"  "<<#y<<":"<<y<<endl
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<":"<<x<<"  "<<#y<<":"<<y<<"  "<<#z<<":"<<z<<endl
typedef long long ll;
struct fastio{
    fastio(){
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0);
        cout.tie(0);
    }
}fio;
const int N=1e6+5;
vector<int> prime,part;
void init(){
    part=vector<int>(N,0);
    part[1]=1;
    for(int i=2;i<N;++i){
        if(!part[i]){
            prime.push_back(i);
            part[i]=i;
        }
        for(auto j:prime){
            if(i*j>=N) break;
            part[i*j]=j;
            if(i%j==0) break;
        }
    }
}
ll solve(const vector<int>& data){
    ll r=0,res=0;
    unordered_map<int,int> pos;
    for(int i:data){
        while(i>1){
            int p=part[i];
            while(p==part[i]) i/=p;
            if(!pos.count(p)) res+=(r+1)*(data.size()-r);
            else res+=(r-pos[p])*(data.size()-r);
            pos[p]=r;
        }
        ++r;
    }
    return res;
}
signed main(){
    init();
    int n,m;
    vector<int> data;
    cin>>n;
    while(n--){
        cin>>m;
        data.push_back(m);
    }
    cout<<solve(data)<<endl;
}