二维差分解题：洛谷P3997地毯-优快云博客

【二维差分】洛谷P3997地毯

~~群里的大佬都去Online#3的提高组了，就蒟蒻（我）一个人报了普及组，做做前缀和与差分的题聊以慰籍~~
题目传送门

前言

这道题在洛谷上wxz大佬的题解已经说得很清楚了（~~自己给自己出的题写题解~~），虽然题目说难度在Day2T1，但是那个1e3的数据范围刚好可以枚举，所以各种玄学暴力做法都能过。蒟蒻把自己做这道题的思路还有对差分的一些（浅薄的）理解整理下来，有不当之处欢迎各位大佬评论指出~

解题思路

这道题本质上可以这样理解：
给定一个矩阵，每个位置初始是0，现在给定若干个可能重叠的子矩阵，每个子矩阵的覆盖区域加上1，最后输出整个矩阵。
我们把每个子矩阵拆成若干行，然后一个子矩阵就转换为若干个长度相同的子段，也就转化成了一维的差分。最后扫描一遍，根据标记输出就行了。
上面是大概的思路，下面本蒟蒻会从一维差分梳理到这道题的代码，各位大佬可以直接去看最下面的代码。

一维差分

想要做差分的题，先要理解差分到底有什么用，最常见的差分题目就是：
给定一个序列，初始化为0，然后对其进行m次操作：
每次操作给出该序列的一个子段[L,R]，这个子段内的所有元素+1
最后要求你输出整个序列。
没有学过差分的话，看到题目可能会对每一个[L,R]，遍历它，然后每个元素都+1。虽然可以得到答案，但是复杂度是O(n*m），要是n是10e6，10e7，基本就妥妥的TLE了。这个时候就要用到差分的思想：在区间的首尾打上标记，输出的时候根据标记输出对应的值就得到最终答案，这里举个例子让大家更好的明白：
假设序列长度为10，3次操作给定区间是[2,8],[4,6],[1,3]。
第一次我们在2处打上标记（+1），9处打上标记（-1），在9处打上标记是因为8还属于这个子段，到9才离开。数组为：
0 1 0 0 0 0 0 0 -1 0
第二次在4处打一个标记，7处也打一个
0 1 0 1 0 0 -1 0 -1 0
第三次在1和4处打上标记：
1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0
如果我们不在末尾打上标记，就不知道这个子段到哪里结束，有人说：那把子段每一个元素都打上标记不就知道了？可以，但是那就变成了暴力枚举了，没有任何优化。现在标记是打好了，但显然这不是最后的答案，差分还有一个重点是如何输出，差分的输出的思想是这样的：记录走到现在的标记之和，输出这个和。不理解？我们来模拟一下那个例子的输出：
走到1，标记和是1吧，那就输出1
到2，标记和是2，那就输出2
在3，4，5，6，标记和都没变动，还是2
到了7，标记和减1，输出1
在8这里，还是1
到了9，又减了1，输出0
到了10，还是0

输出为1 2 2 2 2 2 1 1 0 0，各位可以手算一下，这确实是正确的输出。个人认为，标记和其实就是你这个位置有几个子段和覆盖，当你走出一个子段，那这个位置就少了一个子段覆盖，所以加上-1，代表少了一个子段覆盖这个位置（当然也可能是-2，那说明两个子段都在这个位置结束，以此类推）。
一维差分就讲到这里了，如果大家还不理解可以去luogu看看wxz大佬的题解，应该就会懂了。那么怎么把一维差分用到这道题呢？刚开始说过，可以把一个子矩阵拆成一行一行的，不就是几个长度相同的子段吗（只有所在行数不同），然后对于每个子段，用刚才一维差分思想打标记就行了。每个子矩阵要花费O（m）（m是行数）的时间，那么总时间复杂度就是O（n*m）（n是子矩阵数）
最后，贴上这题的AC代码（这篇可能有点长，建议多读几遍，差分那里可以手动模拟一下（~~其实是我自己讲复杂了？）~~：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
int matrix[1100][1100];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		int sx,sy,ex,ey;
		cin >> sx >> sy >> ex >> ey;
		//遍历每一行
		for(int i = sx;i <= ex;i++){
			//在sy和ey+1处分别打上标记
			matrix[i][sy]++;
			matrix[i][ey+1]--; 
		}
	}
	//扫描数组
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int sum = 0;
		for(int j = 1;j <= n;j++){
			sum += matrix[i][j];
			printf("%d ",sum);
		}
		printf("\n");
	} 
	return 0;
}