求素数-线性筛法

文章参考：

1.https://www.cnblogs.com/grubbyskyer/p/3852421.html

2.https://blog.youkuaiyun.com/NK_test/article/details/46242401 

• 第一种解法：傻瓜解法2-n-1

• #include<iostream>
  using namespace std;
  
  int main()
  {
      int n;
      int i;
      while(1){
          cin >> n;
          if( n == -1) break; //跳出条件
          for( i = 2 ; i < n ; i++)
              if( n%i == 0 ) break;
          if( i == n ) cout<<"yes"<<endl;
          else cout << "No"<<endl;
      }
  
      return 0;
  }

   

•  

• 第二种解法：2-sqrt(n)

• 先简单说一下原理：

  基本思想：素数的倍数一定不是素数
  实现方法：用一个长度为N+1的数组保存信息（0表示素数，1表示非素数），先假设所有的数都是素数（初始化为0），从第一个素数2开始，把2的倍数都标记为非素数（置为1），一直到大于N；然后进行下一趟，找到2后面的下一个素数3，进行同样的处理，直到最后，数组中依然为0的数即为素数

  for( i = 2 ; i < sqrt(n) ; i++)

• 此筛选法的时间复杂度是O(nloglogn) 空间复杂度是O(n)

  不足之处也比较明显，手动模拟一遍就会发现，很多数被处理了不止1遍，比如6，在素数为2的时候处理1次，为3时候又标记一次，因此又造成了比较大的不必要处理...那有没有改进的办法呢...就是下面改进之后的筛法...

•  

• 第三种解法：线性筛（着重讲解）

const int MAXN=3000001;
int prime[MAXN];//保存素数 
bool vis[MAXN];//初始化 
int Prime(int n)
{
	int cnt=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(!vis[i])
		prime[cnt++]=i;
		for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<n;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0)//关键 
			break;
		}
	}
	return cnt;//返回小于n的素数的个数 
}

 讲解：首先，先明确一个条件，任何合数都能表示成一系列素数的积。
然后利用了每个合数必有一个最小素因子，每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。
代码中体现在：
if(i%prime[j]==0)break;
prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j]，那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j], prime[j] 比 prime[j+1] 小。接下去的素数同理。所以不用筛下去了。
在满足i%prme[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。
 

第四种：引申--欧拉函数

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 100005
#define MAXL 1299710
int prime[MAXN];
int check[MAXL];
int phi[MAXL];
int tot = 0;
phi[1] = 1;
memset(check, 0, sizeof(check));
for (int i = 2; i < MAXL; ++i)
{
  if (!check[i])
  {
    prime[tot++] = i;
    phi[i] = i - 1;
  }
  for (int j = 0; j < tot; ++j)
  {
    if (i * prime[j] > MAXL)
    {
      break;
    }
    check[i*prime[j]] = 1;
    if (i % prime[j] == 0)
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
      break;
    }else
    {
      phi[i*prime[j]] = phi[i] * (prime[j]-1);
    }
  }
}