Allee效应与Leslic矩阵

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#线性代数 #经验分享

于 2022-10-27 23:34:10 首次发布

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博客回顾了无限制指数增长、Logistic方程等。介绍了Allee Effect，包括其方程及参数变化情况，指出引入参数A后不同取值下种群的变化。还阐述了Leslic Matrix，通过矩阵和向量乘积表示种群年龄结构变化，可近似求出特定年龄结构种群增长率。

回顾

无限制的指数增长：
${N′=r⋅NNt=ert+cNt=C0⋅ert\begin{cases} &N'=r\cdot N\\ &N_{t}=e^{rt+c}\\ &N_{t}=C_{0}\cdot e^{rt} \end{cases}$
限制下的增长（Logistic方程）：
${N′=r⋅N(1−NK)Nt=K⋅b0e−rt+b0\begin{cases} &N'=r\cdot N(1-\frac{N}{K})\\ &N_{t}=\frac{K\cdot b_{0}}{e^{-rt}+b_{0}} \end{cases}$
Logistic Map and Bifurcation:
$xt+1=μ⋅xt(1−xt)x_{t+1}=\mu\cdot x_{t}(1-x_{t})$

一、Allee Effect

1、方程

方程 $N′=r⋅NN'=r\cdot N$ 中， $r≠0r\not=0$ ，所以当 $N^{'} = 0$ 时，有解为 $N = 0$ ，但不是均衡点：
在这里插入图片描述
方程 $N′=r⋅N(1−NK)N'=r\cdot N(1-\frac{N}{K})$ 中，所以当 $N^{'} = 0$ 时，有解为 ${N1∗=0N2∗=K\begin{cases}N^{*}_{1}=0\\N^{*}_{2}=K\end{cases}$ ，其中 $N^{*}_{2}=K$ 是均衡点：

在这里插入图片描述
现在向Logistic方程引入参数 $A$ ，满足以下条件：
${当N<A时，N′<0，N↓当N>A时，N′>0，N↑\begin{cases} 当N<A时，N'<0，N\downarrow\\ 当N>A时，N'>0，N\uparrow \end{cases}$
即：
$N′=r⋅N(1−NK)(NA−1)N'=r\cdot N(1-\frac{N}{K})(\frac{N}{A}-1)$
Steady state： $N^{'} = 0$
解得：
${N1∗=0N2∗=AN3∗=K\begin{cases} N^{*}_{1}=0\\ N^{*}_{2}=A\\ N^{*}_{3}=K \end{cases}$
但是此解有两种情况：
当 $A > K$ 时：
$∵A>K\because A>K$
$∴若N>A，则N>K，N′<0\therefore若N>A，则N>K，N'<0$
在这里插入图片描述

$∴当N>K时种群还在增长，这不符合K的原假设（N>K时，种群下降）\therefore 当N>K时种群还在增长，这不符合K的原假设（N>K时，种群下降）$
$∴不考虑A>K时的情况\therefore不考虑A>K时的情况$

当 $K > A$ 时：
${N∈(0，A]时，N′<0，种群衰退N∈(N,K]时，N′>0，种群扩张N>K时，N′<0，种群大小下降\begin{cases} N\in(0，A]时，N'<0，种群衰退\\ N\in(N,K]时，N'>0，种群扩张\\ N>K时，N'<0，种群大小下降 \end{cases}$
这符合原假设
在这里插入图片描述
将方程 $N′=r⋅N(1−NK)(NA−1)N'=r\cdot N(1-\frac{N}{K})(\frac{N}{A}-1)$ 在时间 $t$ 对种群大小 $N$ 的坐标轴上表示为：

即当种群大小 $N > A$ 时，种群才可以延续，即最小可持续种群。比较常见的解释是，当种群大小小于 $A$ 时，种群中的个体无法有效的与异性交配或无法有效的分摊风险（如捕时压力），从而导致种群衰退。

2、参数变化

至此，方程中已经有三个可变参数： $r ， K ， A$
因此有三种情况：
${K和A不变，r↑r和A不变，K↑r和K不变，A↑\begin{cases} K和A不变，r\uparrow\\ r和A不变，K\uparrow\\ r和K不变，A\uparrow \end{cases}$
函数关系可视化为：
在这里插入图片描述

二、Leslic Matrix

假设有这样一个种群 ${X}$ ，其种群的年龄结构变化符合以下关系：
在这里插入图片描述
（圆圈表示各龄个体的总和，数字表示年龄， $F$ 表示生育率， $P$ 表示存活到下一龄的概率率）

$t_{0}$ 时刻以向量形式表示各年龄段的个体数：
$X→t0=[x1t0x2t0x3t0x4t0x5t0]，上标为时刻，下标为年龄\overrightarrow X^{t_{0}}= \begin{bmatrix} x^{t_{0}}_{1}\\ x^{t_{0}}_{2}\\ x^{t_{0}}_{3}\\ x^{t_{0}}_{4}\\ x^{t_{0}}_{5} \end{bmatrix}，上标为时刻，下标为年龄$
在经过 $1$ 单位的时间后，种群的各年龄段个体数为：
$x1t0+1=x1t0⋅F1+x2t0⋅F2+x3t0⋅F3+x4t0⋅F4+x5t0⋅F5x2t0+1=x1t0⋅P1x3t0+1=x2t0⋅P2x4t0+1=x3t0⋅P3x5t0+1=x4t0⋅P4\begin{aligned} &x^{t_{0}+1}_{1}=x^{t_{0}}_{1} \cdot F_{1}+x^{t_{0}}_{2} \cdot F_{2}+x^{t_{0}}_{3} \cdot F_{3}+x^{t_{0}}_{4} \cdot F_{4}+x^{t_{0}}_{5} \cdot F_{5}\\ &x^{t_{0}+1}_{2}=x^{t_{0}}_{1}\cdot P_{1}\\ &x^{t_{0}+1}_{3}=x^{t_{0}}_{2}\cdot P_{2}\\ &x^{t_{0}+1}_{4}=x^{t_{0}}_{3}\cdot P_{3}\\ &x^{t_{0}+1}_{5}=x^{t_{0}}_{4}\cdot P_{4} \end{aligned}$
使用矩阵和向量的乘积表示为：
$X→t0+1=X→t0×[L]=[x1t0x2t0x3t0x4t0x5t0]×[F1F2F3F4F5P100000P200000P300000P40]\begin{aligned} \overrightarrow X^{t_{0}+1} &=\overrightarrow X^{t_{0}} \times \begin{bmatrix} L \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} x^{t_{0}}_{1}\\ x^{t_{0}}_{2}\\ x^{t_{0}}_{3}\\ x^{t_{0}}_{4}\\ x^{t_{0}}_{5} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} F_{1} & F_{2} & F_{3} & F_{4} & F_{5}\\ P_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & P_{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & P_{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & P_{4} & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$
由于给定的种群的初始大小不可能为零，所以 $X→t0\overrightarrow X^{t_{0}}$ 为非零向量。
$∴\therefore$ 存在矩阵 $[L]\begin{bmatrix}L\end{bmatrix}$ 的特征值 $r$ ，使:
$X→t0×[L]=X→t0×r,X→t0≠0\overrightarrow X^{t_{0}} \times \begin{bmatrix} L \end{bmatrix} = \overrightarrow X^{t_{0}} \times r, \overrightarrow X^{t_{0}}\not=0$
据此便可近似的求出具有特定年龄结构的种群增长率。