【USACO1.6.3】Prime Palindromes【数论，数学】【模拟】

最新推荐文章于 2024-12-02 22:19:14 发布

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#USACO1.6.3 #数论 #数学 #模拟

本文介绍了一种求解特定区间内回文质数的方法，通过先筛选回文数再判断其是否为质数，避免了偶数位回文数（除11外）为11的倍数的问题，提供了C++实现代码。

题目大意：

题目链接：http://train.usaco.org/usacoprob2?a=iLZIJL4lyhX&S=pprime
求 $l$ 到 $r$ 之间的回文质数。

思路：

由于 $100000000$ 之内有 $5761455$ 个质数，而且我懒到不想打线性筛，所以就只能先筛回文再筛质数。
回文数很好筛。先把它的每一位储存到数组里，然后再用两个指针判断它是否回文即可。
质数的话就一边根号过去就可以了。
但是这样会T三个点。
其实，除了11以外的偶数位回文数都是11的倍数。

证明：
先设出一般形式： $a n . . . a 2 a 1 a 1 a 2 . . . a n$
然后可将其改写(首尾两两依次配对)：
$an...a2a1a1a2...an=an\times(10^{(2n-1)}+1)+...+a2\times(10^{(2\times2-1)}+1)\times10^{(n-2)}+a1\times(10^{(2\times1-1)}+1)\times10^{(n-1)}$
可以看到求和的每一项均有因式 $10^{(2k-1)}+1$ ,而该因式又含有因式 $10 + 1 = 11$ ,故和是 $11$ 的倍数.

那么就剪个枝就好了。

代码：

/*
ID:ssl_zyc2
TASK:pprime
LANG:C++
*/

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

int l,r;

bool check(int x)
{
    int a[101],len=0,y=x;
    memset(a,0,sizeof(a));
    while (y)  //求出每一位
    {
        a[++len]=y%10;
        y/=10;
    }
    for (int i=1;i<=len/2;i++)
     if (a[i]!=a[len-i+1]) return 0;  //判回文
    for (int i=2;i<=sqrt(x);i++)
     if (!(x%i)) return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&l,&r);
    for (register int i=l;i<=r;i++)
    {
        if (i==1000||i==100000||i==10000000) i*=10;  //不能为偶数位（两位除外）
        if (i>r) break;
        if (i>1&&check(i)) printf("%d\n",i); 
    } 
    return 0;
}