【洛谷P4178】Tree【分块】

题目：

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4178
给你一棵树，以及这棵树上边的距离，问有多少对点它们两者间的距离小于等于$k$。

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思路：

这道题是应该加强数据了。。。
当然如果这道题不打算做点分治模板题的话可以不用
$O(n\sqrt{n}\log \sqrt{n})$分块在洛谷优秀的$O2$下过了。。。
我们假设$1$为树根，$dfs$遍历一遍就可以得到每一个节点$x$到$1$的距离$dis[x]$。
然后可以暴力判断$dis$中有多少个数时小于等于$k$的。
每一个点作根跑一边，时间复杂度$O(n^2)$。

考虑优化上述算法。
考虑换根。我们把根从$1$转移到$x$时，所有$x$子树内的节点到$x$的距离减少了$dis(1,x)$，其他点到$x$距离增加了$dis(1,x)$。
用$dfs$序把每一棵子树的编号变为连续的，那么我们只要在原$dis$序列中进行区间加减操作就可以了维护出以$x$为根时，每一个点到$x$的距离。
那么我们现在需要求整个$dis$数组中有多少个是$\le k$的，那么其实就是 教主的魔法 那道题了。
采用分块，区间加减容易实现，对于每一个块维护一个$Sort$数组，表示这个块的$dis$排序后的数组。那么每次修改时，$Sort$数组可以在$O(\sqrt{n}\log \sqrt{n})$的时间复杂度内暴力维护。
注意如果要把一个块整体加减，那么直接在这个块的$add$数组中加减即可，在$dis$和$Sort$中都不需要修改。
询问时枚举每一个块$p$，在这个块的$Sort$中二分出第一个严格大于$k-add[p]$的数的位置$pos$，那么这个块中小于等于$k$的数字就有$pos-1$个。
这样就可以在$O(\sqrt{n}\log \sqrt{n})$的时间复杂度内求出距离一个点有多少个点路径长度$\le k$。总时间复杂度$O(n\sqrt{n}\log \sqrt{n})$。常数极大。

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代码：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=40010,M=210;
int L[M],R[M],pos[N],add[M],Sort[M][M],head[N],dis[N],Dis[N],rk[N],dfn[N],size[N];
int n,m,T,tot,ans;

struct edge
{
	int next,to,dis;
}e[N*2];

void addedge(int from,int to,int d)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].dis=d;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

void dfs1(int x,int fa)  //求出每一个点到点1的距离，同时求出dfs序
{
	dfn[x]=++tot; rk[tot]=x; size[x]=1;
	for (register int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			Dis[v]=Dis[x]+e[i].dis;
			dfs1(v,x);
			size[x]+=size[v];
		}
	}
}

void update(int l,int r,int val)  //分块区间加模板
{
	int p=pos[l],q=pos[r];
	if (q-p<=1)
	{
		for (register int i=l;i<=r;i++) dis[i]+=val;
		for (register int i=L[p];i<=R[q];i++) Sort[pos[i]][i-L[pos[i]]+1]=dis[i];  //整个块暴力修改
		sort(Sort[p]+1,Sort[p]+1+R[p]-L[p]+1);
		if (p!=q) sort(Sort[q]+1,Sort[q]+1+R[q]-L[q]+1);  //重新维护
		return;
	}
	for (register int i=l;i<=R[p];i++) dis[i]+=val;
	for (register int i=L[q];i<=r;i++) dis[i]+=val;
	for (register int i=L[p];i<=R[p];i++) Sort[p][i-L[p]+1]=dis[i];
	for (register int i=L[q];i<=R[q];i++) Sort[q][i-L[q]+1]=dis[i];  //两边暴力修
	sort(Sort[p]+1,Sort[p]+1+R[p]-L[p]+1);
	sort(Sort[q]+1,Sort[q]+1+R[q]-L[q]+1);
	for (register int i=p+1;i<q;i++)
		add[i]+=val;
}

void dfs2(int x,int fa)  //换根求答案
{
	for (register int i=1;i<=T;i++)
		ans+=upper_bound(Sort[i]+1,Sort[i]+1+R[i]-L[i]+1,m-add[i])-Sort[i]-1;
	for (register int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			update(dfn[v],dfn[v]+size[v]-1,-e[i].dis*2);
			update(1,n,e[i].dis);  //换根
			dfs2(v,x);
			update(dfn[v],dfn[v]+size[v]-1,e[i].dis*2);
			update(1,n,-e[i].dis);
		}
	}
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d",&n);
	for (register int i=1,x,y,z;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		addedge(x,y,z); addedge(y,x,z);
	}
	scanf("%d",&m);
	tot=0; T=sqrt(n);
	if (T*T<n) T++;
	dfs1(1,0);
	for (register int i=1;i<=T;i++)
	{
		L[i]=R[i-1]+1; R[i]=min(n,T*i);
		for (register int j=L[i];j<=R[i];j++)
			dis[j]=Sort[i][j-L[i]+1]=Dis[rk[j]],pos[j]=i;
		sort(Sort[i]+1,Sort[i]+1+R[i]-L[i]+1);
	}
	dfs2(1,0);
	printf("%d",(ans-n)/2);  //先减去n个(x,x)的点对，然后(x,y)和(y,x)只算一个，所以除以2
	return 0;
}