【洛谷P1005】矩阵取数游戏【区间dp】【高精度】

最新推荐文章于 2024-09-15 10:49:42 发布

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本文介绍了一种矩阵取数游戏的算法解决方案，游戏规则包括从矩阵中按特定方式取数并计算得分，通过动态规划求解最大得分，涉及高精度数运算。

题目：

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n \times mn×m的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$
均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 $×2i\times 2^i$ ，其中 $i$ 表示第 $i$ 次取数（从1开始编号）；
游戏结束总得分为 $m$ 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

思路：

因为每一行的游戏是互不影响的，所以我们可以一行一行来做。
对于每一行，设 $f [i] [j]$ 表示取完 $i∼ji\sim j$ 的最大得分，那么显然有
$f[i][j]=max(f[i−1][j]+a[i]×2n−(j−i),f[i][j−1]+a[j]×2n−(j−i))f[i][j]=max(f[i-1][j]+a[i]\times 2^{n-(j-i)},f[i][j-1]+a[j]\times 2^{n-(j-i)})$
高精度转移即可。

代码：

#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC optimize("inline")
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=90,MAXN=10;
int n,m,ans[MAXN+1],f[N][N][MAXN+1],power[N][MAXN+1],a[N][MAXN+1],p[MAXN+1],q[MAXN+1];

void mul(int c[MAXN+1],int a[MAXN+1],int b[MAXN+1])
{
	for (register int i=MAXN;i>=1;i--)
	{
		int t=0;
		for (register int j=MAXN;j>=1;j--) 
		{
			c[i+j-MAXN]+=a[i]*b[j]+t;
			t=c[i+j-MAXN]/10000;
			c[i+j-MAXN]%=10000;
		}
	}
}

void add(int a[MAXN+1],int b[MAXN+1])
{
	int t=0;
	for (register int i=MAXN;i>=1;i--)
	{
		a[i]+=b[i]+t;
		t=a[i]/10000;
		a[i]%=10000;
	}
}

bool check(int a[MAXN+1],int b[MAXN+1])
{
	for (register int i=1;i<=MAXN;i++)
		if (a[i]>b[i]) return 1;
			else if (a[i]<b[i]) return 0;
	return 1;
}

int main()
{
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&m,&n);
	power[0][MAXN]=1; power[1][MAXN]=2;
	for (register int i=2;i<=n;i++)
		mul(power[i],power[i-1],power[1]);
	while (m--)
	{
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(f,0,sizeof(f));
		for (register int i=1,x;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&x);
			for (register int j=MAXN;j>=1;j--,x/=10000)
				a[i][j]=x%10000;
			mul(f[i][i],a[i],power[n]);
		}
		for (register int i=n;i>=1;i--)
			for (register int j=i+1;j<=n;j++)
			{
				memset(p,0,sizeof(p));
				memset(q,0,sizeof(q));
				mul(p,a[i],power[n-(j-i)]);
				mul(q,a[j],power[n-(j-i)]);
				add(p,f[i+1][j]);
				add(q,f[i][j-1]);
				if (check(p,q)) memcpy(f[i][j],p,sizeof(p));
					else memcpy(f[i][j],q,sizeof(q));
			}
		add(ans,f[1][n]);
	}
	int i=1;
	while (!ans[i] && i<=MAXN) i++;
	if (i>MAXN) return !printf("0");
	printf("%d",ans[i]);
	for (i++;i<=MAXN;i++)
	{
		if (ans[i]<1000) putchar(48);
		if (ans[i]<100) putchar(48);
		if (ans[i]<10) putchar(48);
		printf("%d",ans[i]);
	}
	return 0;
}