CINTA 第四次作业：群，子群，循环群，拉格朗日定理

SKLM_Windsinger

已于 2022-12-16 11:47:52 修改

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分类专栏： C++ 数论文章标签：算法

于 2022-11-01 12:03:38 首次发布

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（第六章7）设 $\mathbb{G}$ 是群，对任意 $n\in \N$ , $\in [0, n]$ ， $g_i \in \mathbb{G}$ 。证明 $g_0 g_1 \cdots g_n$ 的逆元是 $g_n^{-1} \cdots g_1^{-1} g_0^{-1}$ 。
证明：
显然 $g_0g_1 \cdots g_n g_n^{-1 \cdots} g_1^{-1} g_0^{-1} = g_0g_1\cdots g_{n-1} e g_{n-1}^{-1}\cdots g_1^{-1}g_0^{-1} = \cdots = g_0g_0^{-1} =e$ ;
$g_n^{-1}\cdots g_1^{-1}g_0^{-1}g_0 g_1 \cdots g_n = e$ ，由逆元的定义可知 $g_0 g_1 \cdots g_n$ 的逆元是 $g_n^{-1} \cdots g_1^{-1} g_0^{-1}$ 。
（第六章8）证明：任意群 $\mathbb{G}$ 的两个子群的交集也是群 $\mathbb{G}$ 的子群。
证明：
设 $\mathbb{H_1},\mathbb{H_2}$ 为群 $\mathbb{G}$ 的两个非空子群，则它们的交集为 $\mathbb{H} = \mathbb{H_1} \cap\mathbb{H_2} = \{a:a\in\mathbb{H_1} \wedge a\in\mathbb{H_2}\}$ .根据命题6.8:
（1）若 $\in \mathbb{H}$ ,则 $\in \mathbb{H_1} \wedge a,b\in \mathbb{H_2} \rightarrow ab \in \mathbb{H_1} \wedge\mathbb{H_2}=\mathbb{H}$ ；
(2）若 $a\in \mathbb{H}$ ，则 $a\in \mathbb{H_1} \wedge\in \mathbb{H_2} \rightarrow a^{-1} \in \mathbb{H_1} \wedge a^{-1}\in \mathbb{H_2} \rightarrow a^{-1}\in \mathbb{H_1} \wedge \mathbb{H_2}=\mathbb{H}$ ；
由（1）（2）得证。
（第六章10） $\mathbb{G}$ 是阿贝尔群， $\mathbb{H}$ 和 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{G}$ 的子群。
请证明 $\mathbb{H} \mathbb{K} = \{hk: h \in \mathbb{H}, k \in \mathbb{K}\}$ 是群 $\mathbb{G}$ 的子群。
如果 $\mathbb{G}$ 不是阿贝尔群，结论是否依然成立？
证明：在 $\mathbb{HK}$ 中任意取两个元素 $h_1k_1,h_2k_2$ ，只要验证满足命题6.8即得证：
（1）若 $h_1k_1,h_2k_2\in \mathbb{HK},$ 则 $h_1k_1,h_2k_2 \in\mathbb{G}$ ， $h_1k_1h_2k_2 =h_1h_2k_1k_2$ ,其中 $h_1h_2\in \mathbb{H} ,k_1k_2 \in\mathbb{K}$ ,则 $h_1k_1h_2k_2 \in\mathbb{HK}$ ;
（2）若 $h_1k_1 \in \mathbb{HK}$ ，则 $h_1k_1 \in \mathbb{G}$ ， $h_1k_1)^{-1} =h_1^{-1}k_1^{-1}$ ，其中 $h_1^{-1} \in \mathbb{H},k_1^{-1} \in\mathbb{K}$ ,则 $(h_1k_1)^{-1} \in \mathbb{HK}$ .
由（1）（2）得证。
如果 $\mathbb{G}$ 不是阿贝尔群，结论不成立。证伪：若 $\mathbb{H}\cap \mathbb{K} = \{e\}$ ，任意非单位元 $h\in \mathbb{H},k\in \mathbb{K} ,(hk)^{-1} =k^{-1}h^{-1} \notin \mathbb{HK}$ 。
（第六章11）设 $\mathbb{G}$ 是阿贝尔群， $m$ 是任意整数，记 $\mathbb{G}^m = \{ g^m: g\in \mathbb{G}\}$ 。请证明 $\mathbb{G}^m$ 是 $\mathbb{G}$ 的一个子群。
证明：在 $\mathbb{G}^m$ 中任意取两个元素 $g_1^m,g_2^m$ ，只要验证满足命题6.8即得证：

（1）若 $g_1^m,g_2^m \in \mathbb{G}^m$ ，则 $g_1 ,g_2 \in \mathbb{G}$ ， $g_1^mg_2^m =(g_1g_2)^m$ ，其中 $g_1g_2 \in \mathbb{G}$ ，所以 $g_1^mg_2^m \in \mathbb{G}^m$ ；
（2）若 $g^m \in \mathbb{G}^m$ ，则 $g\in \mathbb{G}$ ， $g^m)^{-1} = (g^{-1})^m$ ，其中 $g^{-1} \in \mathbb{G}$ ，所以 $(g^m)^{-1} \in \mathbb{G}^m$ .
由（1）（2）得证。
（第七章6）证明：如果群 $\mathbb{G}$ 没有非平凡子群，则群 $\mathbb{G}$ 是循环群。
证明它的逆否命题：若群 $\mathbb{G}$ 不是循环群，则群 $\mathbb{G}$ 有非平凡子群。
取 $g\in G ,g \neq e$ ，则 $\left \langle g \right \rangle \subset G$ ，可知循环群 $\left \langle g \right \rangle$ 为 $\mathbb{G}$ 的非平凡子群；
命题得证。
（第七章 7）证明推论7.3，即循环群 $\mathbb{G}$ 中任意元素的阶都整除群 $\mathbb{G}$ 的阶。
证明：由命题7.5可知:
若 $h\in \mathbb{G} ，h= g^k$ ，则 $h$ 的阶为 $n/d,d=\gcd(k,n)$ 。|
易知道 $n/d \times d = n$ ，即 $\,|\,n$ .
命题得证。
（第七章8）编程完成以下工作：给定一个素数 $p$ ，找出 $Z_p^*$ 的最小生成元。对于素数 $1 < p < 10000$ ，哪一个素数 $p$ 使得 $Z_p^*$ 的最小生成元最大？


#include <iostream>
#include <vector>
#include<list>

using namespace std;

//判断素数
bool isPrime(int x)
{
    long long y;
    for (y = 2; y <= sqrt(x); y++)
        if (x % y == 0)
            return false;
    return true;
}

//获得一定范围内的素数
void getPrimeList(int maxNum, vector<int>& PrimeList) {
    if (maxNum >= 2) PrimeList.push_back(2);
    for (int i = 3; i <= maxNum; i = i + 2) {
        if (isPrime(i)) PrimeList.push_back(i);
    }
}

//获得素数p-1 的所有因子 储存在 list 中
void getfators_list(int num , list<int>&fators_list) {
    int fator; // 因子
    for (fator = 1; fator * fator <= num; ++fator) {
        if (num % fator == 0) //fator 是num 的因子
        {
            fators_list.push_back(fator); //将 fator 送入 list
            fators_list.push_back(num / fator);//num / fator 也是因子
        }

    }
    fators_list.sort(); //排序
    fators_list.unique(); //去重
    fators_list.pop_front(); //将 1 去除,这将简化后面的计算
    fators_list.pop_back();//去除 num 本身
}


//判断a是否是模p的原根，
bool is_primitive_root(int a, int p) {
    list<int> fators_list;
    getfators_list(p - 1, fators_list); //获取Prime-1 的因子表
    for (list<int>::iterator it = fators_list.begin(); it != fators_list.end(); it++) { //遍历因子表
        int index = (p - 1) / (*it);
        int Product = 1; //记录乘积
        for (int i = 1; i <= index; ++i) {//做乘方
            Product *= a;
            Product = Product % p;
        }
        if (Product == 1) return false; //如果等于了 就不是
        //if (index == 2) return a; //这时候 将fators 的所有因子都遍历了，但是还是未有模p为1 的出现，则a就是原根
    }
    return true;
}
//获得Z_p* 的最小生成元
int getMingener(int Prime) {

    if (!isPrime(Prime)) return 0;
    if (Prime == 2) return 1;
    if (Prime == 3) return 1;
    list<int> fators_list;
    getfators_list(Prime-1, fators_list); //获取Prime-1 的因子表
    for (int a = 2; a < Prime;a++)//从Zp*的2开始依次到p-1查看
    {
      
        if (is_primitive_root(a, Prime)) {
            return a;
       }

    }
    
    return 0;

}

int main()
{
    vector<int> primes;
    getPrimeList(10000, primes);
    for (vector<int>::iterator it = primes.begin(); it != primes.end(); it++) {
        int min = getMingener(*it);
        cout << *it << ":" << min << " " << endl;
       
      
        
    }

  /*  list<int> fators_list;
    int prime = 100;
    getfators_list(1000000, fators_list);
    for (list<int>::iterator it = fators_list.begin(); it != fators_list.end(); it++) {
        cout << *it << " ";
    }*/
   /* int a = 0; 
    a = getMingener(73);
    cout << a;*/
    return 0;
}

通过计算，在10000范围内最小生成元最大的数为5881，其最小生成元为31。

（第八章3）如果 $\mathbb{G}$ 是群， $\mathbb{H}$ 是群 $\mathbb{G}$ 的子群，且 $\lbrack \mathbb{G} : \mathbb{H}\rbrack =2$ ，请证明对任意的 $g\in \mathbb{G}$ ， $\mathbb{H} = \mathbb{H}g$ 。
证明：因为 $\lbrack \mathbb{G} : \mathbb{H}\rbrack =2$ ，则 $\mathbb{G}$ 被 $\mathbb{H}$ 划分为了两个部分，其中一个就是 $\mathbb{H}$ ，我们设另一个为 $\mathbb{K}$ ，
（1）若 $g\in \mathbb{H}$ ，则 $g^{-1} \in \mathbb{G}$ ，对于 $g\mathbb{H}g^{-1}$ ，有 $g\mathbb{H} = \mathbb{H}$ ， $\mathbb{H} g^{-1} = \mathbb{H}$ ，所以 $g\mathbb{H}g^{-1}=\mathbb{H} \rightarrow g\mathbb{H}g^{-1}g=\mathbb{H}g\rightarrow g\mathbb{H}=\mathbb{H}g$ .
（2）若 $\in \mathbb{K}$ ，则 $g^{-1} \in \mathbb{K}$ ，对于 $g\mathbb{H}g^{-1}$ ，有 $g\mathbb{H} =\mathbb{K}$ ， $\mathbb{K} g^{-1} =\mathbb{H}$ ，所以 $g\mathbb{H}g^{-1}=\mathbb{H} \rightarrow g\mathbb{H}g^{-1}g=\mathbb{H}g\rightarrow g\mathbb{H}=\mathbb{H}g$ .
命题得证。
（第八章4）设 $\mathbb{G}$ 是阶为 $pq$ 的群，其中 $p$ 和 $q$ 是素数。请证明 $\mathbb{G}$ 的任意真子群是循环群。
证明：
（1）当真子群为平凡群时命题显然成立，
（2）当真子群为非平凡群时，任取其中一个真子群 $\mathbb{H}$ ，则由拉格朗日定理可知： $\left| \mathbb{H} \right| \,| \left| \mathbb{G} \right |$ ,
由于 $\left| \mathbb{G} \right | =pq ,pq$ 为素数，所以 $\left| \mathbb{H} \right | = p 或q$ 。
再由推论8.2可知 $\mathbb{H}$ 是循环群。
结合（1）（2）命题得证。
（第八章5）如果群 $\mathbb{H}$ 是有限群 $\mathbb{G}$ 的真子群，即存在 $g\in \mathbb{G}$ 但是 $\not \in \mathbb{H}$ 。请证明 $\vert \mathbb{H} \vert \leq \vert \mathbb{G} \vert \ /2$ 。
证明：
因为 $g\in \mathbb{G}$ 但是 $\not \in \mathbb{H}$ ，（即 $\mathbb{H}$ 的左陪集至少有两个）由拉格朗日定理可知 : $|\mathbb{G}| / |\mathbb{H}| =[\mathbb{G}:\mathbb{H}] \ge 2$ 。