（转）三分问题 + UVALive 6954 Euclidean TSP

                                                  三分查找

我们都知道 二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。

如果遇到凸性或凹形函数时，可以用三分查找求那个凸点或凹点。

下面的方法应该是三分查找的一个变形。

如图所示，已知左右端点L、R，要求找到白点的位置。

思路：通过不断缩小 [L,R] 的范围，无限逼近白点。

做法：先取 [L,R] 的中点 mid，再取 [mid,R] 的中点 mmid，通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。

           当最后 L=R-1 时，再比较下这两个点的值，我们就找到了答案。

1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候，我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。

反证法：假设 mmid 在白点的左边，则 mid 也一定在白点的左边，又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid，与已知矛盾，故假设不成立。

所以，此时可以将 R = mmid 来缩小范围。

2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候，我们可以断定 mid 一定在白点的左边。

反证法：假设 mid 在白点的右边，则 mmid 也一定在白点的右边，又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid，与已知矛盾，故假设不成立。

同理，此时可以将 L = mid 来缩小范围。

int SanFen(int l,int r) //找凸点
{
    while(l < r-1)
    {
        int mid  = (l+r)/2;
        int mmid = (mid+r)/2;
        if( f(mid) > f(mmid) )
            r = mmid;
        else
            l = mid;
    }
    return f(l) > f(r) ? l : r;
}

一. 概念

在二分查找的基础上，在右区间（或左区间）再进行一次二分，这样的查找算法称为三分查找，也就是三分法。

三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是：具有单调性（不一定严格单调）；没有单调性的序列不是使用二分查找。

与二分查找不同的是，三分法所面向的搜索序列的要求是：序列为一个凸性函数。通俗来讲，就是该序列必须有一个最大值（或最小值），在最大值（最小值）的左侧序列，必须满足不严格单调递增（递减），右侧序列必须满足不严格单调递减（递增）。如下图，表示一个有最大值的凸性函数：

二、算法过程

（1）、与二分法类似，先取整个区间的中间值mid。

mid = (left + right) / 2;  

（2）、再取右侧区间的中间值midmid，从而把区间分为三个小区间

midmid = (mid + right) / 2;  

3）、我们mid比midmid更靠近最值，我们就舍弃右区间，否则我们舍弃左区间？。

比较mid与midmid谁最靠近最值，只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时，mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。 

if (cal(mid) > cal(midmid))  
    right = midmid;  
else  
    left = mid;  

（4）、重复（1）（2）（3）直至找到最值。

（5）、另一种三分写法

double three_devide(double low,double up)  
{  
    double m1,m2;  
    while(up-low>=eps)  
    {  
        m1=low+(up-low)/3;  
        m2=up-(up-low)/3;  
        if(f(m1)<=f(m2))  
            low=m1;  
        else  
            up=m2;  
    }  
    return (m1+m2)/2;  
}  

算法的正确性：

1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值（最小值）任意一侧都具有单调性，因此，mid与midmid中，更大（小）的那个 数自然更为靠近最值。此时，我们远离最值的那个区间不可能包含最值，因此可以舍弃。

2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间，因此我们舍弃一个区间后，并不会影响到最值

const double EPS = 1e-10;  
  
double calc(double x)  
{  
    // f(x) = -(x-3)^2 + 2;  
    return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2;  
}  
  
double ternarySearch(double low, double high)  
{  
    double mid, midmid;  
    while (low + EPS < high)  
    {  
        mid = (low + high) / 2;  
        midmid = (mid + high) / 2;  
        double mid_value = calc(mid);  
        double midmid_value = calc(midmid);  
        if (mid_value > midmid_value)  
            high = midmid;  
        else  
            low = mid;  
    }  
    return low;  
}  

UVALive 6954 Euclidean TSP

• 题意：给你一个函数，求一个合适的c，使得这个函数的值尽量小。（题意很难懂）
• 题解：很明显这个函数是凹函数，所以做法是三分。

• #include <bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  #define exp 1e-7
  double n, p, s, v;
  double f(double c)
  {
      return n*pow(log2(n),sqrt(2)*c)/p/1e9 + s*(1 + 1/c)/v;
  }
  int main()
  {
      while(~scanf("%lf%lf%lf%lf",&n, &p, &s, &v))
      {
          double mid,mmid,high,low;
          low = 0,high = 100;
          while(high-low>exp)
          {
              mid = (high + low)/2;
              mmid = (high + mid)/2;
              if(f(mid) < f(mmid))
                  high = mmid;
              else low = mid;
          }
          double c = low;
          printf("%lf %lf\n",f(c),c);
      }
  }