(转)三分问题 + UVALive 6954 Euclidean TSP

本文详细介绍了三分查找算法,一种用于寻找凸或凹函数极值的有效方法。通过对搜索区间进行三次划分,逐步逼近目标值,适用于寻找函数的最大值或最小值。

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                                                  三分查找

我们都知道 二分查找 适用于单调函数中逼近求解某点的值。

如果遇到凸性或凹形函数时,可以用三分查找求那个凸点或凹点。

下面的方法应该是三分查找的一个变形。


如图所示,已知左右端点L、R,要求找到白点的位置。

思路:通过不断缩小 [L,R] 的范围,无限逼近白点。

做法:先取 [L,R] 的中点 mid,再取 [mid,R] 的中点 mmid,通过比较 f(mid) 与 f(mmid) 的大小来缩小范围。

           当最后 L=R-1 时,再比较下这两个点的值,我们就找到了答案。

1、当 f(mid) > f(mmid) 的时候,我们可以断定 mmid 一定在白点的右边。

反证法:假设 mmid 在白点的左边,则 mid 也一定在白点的左边,又由 f(mid) > f(mmid) 可推出 mmid < mid,与已知矛盾,故假设不成立。

所以,此时可以将 R = mmid 来缩小范围。

2、当 f(mid) < f(mmid) 的时候,我们可以断定 mid 一定在白点的左边。

反证法:假设 mid 在白点的右边,则 mmid 也一定在白点的右边,又由 f(mid) < f(mmid) 可推出 mid > mmid,与已知矛盾,故假设不成立。

同理,此时可以将 L = mid 来缩小范围。

int SanFen(int l,int r) //找凸点
{
    while(l < r-1)
    {
        int mid  = (l+r)/2;
        int mmid = (mid+r)/2;
        if( f(mid) > f(mmid) )
            r = mmid;
        else
            l = mid;
    }
    return f(l) > f(r) ? l : r;
}

一. 概念

在二分查找的基础上,在右区间(或左区间)再进行一次二分,这样的查找算法称为三分查找,也就是三分法。
三分查找通常用来迅速确定最值。

二分查找所面向的搜索序列的要求是:具有单调性(不一定严格单调);没有单调性的序列不是使用二分查找。
与二分查找不同的是,三分法所面向的搜索序列的要求是:序列为一个凸性函数。通俗来讲,就是该序列必须有一个最大值(或最小值),在最大值(最小值)的左侧序列,必须满足不严格单调递增(递减),右侧序列必须满足不严格单调递减(递增)。如下图,表示一个有最大值的凸性函数:



二、算法过程

(1)、与二分法类似,先取整个区间的中间值mid。
mid = (left + right) / 2;  
(2)、再取右侧区间的中间值midmid,从而把区间分为三个小区间
midmid = (mid + right) / 2;  
3)、我们mid比midmid更靠近最值,我们就舍弃右区间,否则我们舍弃左区间?。
比较mid与midmid谁最靠近最值,只需要确定mid所在的函数值与midmid所在的函数值的大小。当最值为最大值时,mid与midmid中较大的那个自然更为靠近最值。最值为最小值时同理。 

if (cal(mid) > cal(midmid))  
    right = midmid;  
else  
    left = mid;  
(4)、重复(1)(2)(3)直至找到最值。

(5)、另一种三分写法

double three_devide(double low,double up)  
{  
    double m1,m2;  
    while(up-low>=eps)  
    {  
        m1=low+(up-low)/3;  
        m2=up-(up-low)/3;  
        if(f(m1)<=f(m2))  
            low=m1;  
        else  
            up=m2;  
    }  
    return (m1+m2)/2;  
}  
算法的正确性:
1、mid与midmid在最值的同一侧。由于凸性函数在最大值(最小值)任意一侧都具有单调性,因此,mid与midmid中,更大(小)的那个 数自然更为靠近最值。此时,我们远离最值的那个区间不可能包含最值,因此可以舍弃。
2、mid与midmid在最值的两侧。由于最值在中间的一个区间,因此我们舍弃一个区间后,并不会影响到最值
const double EPS = 1e-10;  
  
double calc(double x)  
{  
    // f(x) = -(x-3)^2 + 2;  
    return -(x-3.0)*(x-3.0) + 2;  
}  
  
double ternarySearch(double low, double high)  
{  
    double mid, midmid;  
    while (low + EPS < high)  
    {  
        mid = (low + high) / 2;  
        midmid = (mid + high) / 2;  
        double mid_value = calc(mid);  
        double midmid_value = calc(midmid);  
        if (mid_value > midmid_value)  
            high = midmid;  
        else  
            low = mid;  
    }  
    return low;  
}  

UVALive 6954 Euclidean TSP

  • 题意:给你一个函数,求一个合适的c,使得这个函数的值尽量小。(题意很难懂)
  • 题解:很明显这个函数是凹函数,所以做法是三分。
  • #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define exp 1e-7
    double n, p, s, v;
    double f(double c)
    {
        return n*pow(log2(n),sqrt(2)*c)/p/1e9 + s*(1 + 1/c)/v;
    }
    int main()
    {
        while(~scanf("%lf%lf%lf%lf",&n, &p, &s, &v))
        {
            double mid,mmid,high,low;
            low = 0,high = 100;
            while(high-low>exp)
            {
                mid = (high + low)/2;
                mmid = (high + mid)/2;
                if(f(mid) < f(mmid))
                    high = mmid;
                else low = mid;
            }
            double c = low;
            printf("%lf %lf\n",f(c),c);
        }
    }
    





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