剑指offer——剪绳子（c++)

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成$m$段 ($m$和$n$都是整数，$n>1$并且$m>1$)，每段绳子的长度记为$k[0],k[1],...,k[m]$。
请问$k[0]\ast k[1]\ast ...\ast k[m]$可能的最大乘积是多少？

例如，当绳子的长度为8时，我们把它剪成长度分别为2，3，3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路一：动态规划

首先定义函数$f(n)$为把长度为$n$的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。在剪第一刀时，我们有$n-1$种选择，也就是说第一段绳子的可能长度分别为$1,2,3.....，n-1$。因此$f(n)=max(f(i)\ast f(n-i))$，其中$0<i<n$。这是一个自上而下的递归公式。由于递归会有大量的不必要的重复计算。一个更好的办法是按照从下而上的顺序计算，也就是说我们先得到$f(2),f(3)$，再得到$f(4),f(5)$，直到得到$f(n)$。
当绳子的长度为2的时候，只能剪成长度为1的两段，所以$f(2)=1$，当$n=3$时，易得$f(3)=2$。

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int length) {
        if(length < 2)
            return 0;
        if(length == 2)
            return 1;
        if(length == 3)
            return 2;
        vector<int> dp(length+1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;
        for(int i = 4; i <= length; ++i){
            for(int j = 1; j <= i / 2; ++j){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i-j]);
            }
        }
        return dp[length];
    }
};

思路二 贪心

按照以下策略来剪绳子：当$n\ge 5$时，尽可能多剪长度为3的绳子；当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成两段长度为2的绳子。
思路的正确性：首先，当$n>5$时，可以证明$2(n-2)>n$并且$3(n-3)>n$。就是说，当绳子剩下的长度大于或者等于5的时候，就把绳子剪成长度为3或者2的绳子段。
另外，当$n\ge 5$时，$3(n-3)\ge 2(n-2)$，因此应尽可能地多剪长度为3的绳子段。当绳子长度为4时，$2\ast 2>3\ast 1$。

class Solution {
public:
    int maxProductAfterCutting(int length){
        if(length < 2)
        	return 0;
    	if(length == 2)
        	return 1;
    	if(length == 3)
        	return 2;
    	//尽可能多地减去长度为3的绳子段
    	int timesOfThree = length / 3;
    	//当绳子剩下的长度为4，应该剪为两个2，因为2*2 > 3*1
    	if(length - timesOfThree * 3 == 1)
        	timesOfThree -= 1;
    	int timesOfTwo = (length - timesOfThree * 3) / 2;
    	return (int)(pow(3, timesOfThree)) * (int)(pow(2, timesOfTwo));
    }
};