超级用心的线段树介绍

洛谷同步。

前：笔者觉得线段树很重要，听说我基友___X3___要写一篇关于线段树的博客，我就也写了一篇介绍详细易懂的博客。持续更新。

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更新日志：

update 11.21/2020 :写成。

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Part 1

线段树是一种基于分治思想的二叉树结构，较通用，适于解决区间问题。

线段树的每个节点代表一个区间，根节点唯一，表示 $1-n$。

每个叶节点表示一个长度为1的元区间 $[x,x]$。

对于每个节点（内部） $[l,r]$,它的左节点是 $[l,mid]$，右子节点是 $[mid+1,r]$。

$$mid=(l+r)/2=(l+r)>>1$$

（$mid$ 向下取整）

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性质：线段树除去最后一层，一定是一棵完全二叉树，所以，在理想情况下，$n$ 个节点的线段树有
$$n+n/2+n/4+...+2+1=2n-1$$
个节点。

因此，数组长度要开到不小于4倍。

我暴力开过100倍，不会MLE…

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图片链接：（图老是挂，于是决定使用链接。）

注意，线段树的编号与堆的编号类似，相当于 $dfs$ 序。

线段树图片

------------所以，第一部分圆满结束---------------------------------

Part 2,标记延迟

这就是大名鼎鼎臭名远扬的 $lazytag$。

先说一下标记延迟的作用：将一次区间修改的时间复杂度从 $O(n)$ 优化到 $O(logn)$。

本文 $log$ 默认为2。

如果在修改指令中，要修改节点 $p$ 代表的区间 $[l,r]$。正常的修改方法就是访问以它为根节点的子树并修改。复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 为此子树节点数。

但是，我们没有用到这个区间作为候选答案。所以，更新 $p$ 的整棵子树是浪费时间的徒劳行为。

怎么解决呢？？？

加入 $lazytag$，懒标记。

ps:关于标记，还有一种叫做“标记永久化”的技巧。就是不下传标记，而是累计递归时产生的标记影响。这种做法局限性大，仅在二维线段树和可持久化线段树中有所应用。所以不介绍了。

懒标记的具体实现就是在回溯时向节点 $p$ 增加一个标记，表示“该节点在过去被修改了，但是它的子节点尚未被更新”。

后续操作中，如果要从 $p$ 往下递归，我们就再检查一下 $p$ 是否有标记。有，就根据标记更新 $p$ 的两个儿子,并往下增加标记，然后消除 $p$ 的标记。

这种优化叫做延迟标记，是一个高效率的线段树应该具有的优化。

Part 3 ，Code

上代码。

线段树初始化：

struct segtree{
	int l,r,lazy,add;
}t[max_size<<1+max_size<<1];

有空更新一份用 $class$ 写的。

从子节点往父亲更新标记：

void pushup(int id)
{
	t[id].add=t[id<<1].add+t[id<<1|1].add;
} 

下传标记：

void pushdown(int id,int l,int r){
	t[id<<1].lazy+=t[id].lazy;
	t[id<<1|1].lazy+=t[id].lazy;
	int mid=(l+r)>>1;
	t[id<<1].add+=t[id].lazy*(mid-l+1);
	t[id<<1|1].add+=t[id].lazy*(r-mid);
	t[id].lazy=0;	
}

线段树递归建立：

void build_segtree(int id,int l,int r){
	//节点id表示区间 [l,r]
	t[p].l=l,t[p].r=r;
	if(l==r){
		//叶节点
		t[p].add=a[l];
		return; 
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build_segtree(id<<1,l,mid);
	build_segtree(id<<1|1,mid+1,r);
	//等同于build_segtree(id*2+1,mid+1,r); 
	pushup(id);
	//标记延迟优化时间 
}

上传操作和下传操作是维护线段树的基本操作，基本上每一种操作都要用到。

还有，每个人的线段树写的都不一样，我的写法适中。所以，关于线段树，尽量不要背模板，要随机应变。

有一种比较经典的 $spread$ 函数，其实就是 $pushdown$ 函数。

单点修改和区间修改中很重要的一点：

判断是否向下递归，需判断覆盖性，如果当前区间 $[l,r]$ 被完全覆盖，就可以直接返回了。就是一种整块的处理，有没有分块的感觉？

单点修改，将区间 $[x,y]$ 的每一个值加上 $v$：

int add_(int id,int l,int r,int x,int y,int v){
	if(x<=l&&r<=y){
		t[id].lazy+=v;
		t[id].add+=v*(r-l+1);
		return;//叶节点修改 
	}
	pushdown(id,l,r);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)add_(id<<1,l,mid,x,y);
	if(y>mid)add_(id<<1|1,mid+1,r,x,y);
	pushup(id);
}

区间修改,求出区间 $[x,y]$ 的每一个值的和：

int query(int id,int l,int r,int x,int y){
	if(x<=l&&r<=y){
		return t[id].add;
	}
	pushdown(id,l,r);
	int ans=0,mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid)ans+=query(id<<1,l,mid,x,y);
	if(y>mid)ans+=query(id<<1|1,mid+1,r,x,y);
	return ans;
}

有了这些操作，就可以实现大部分的线段树题目了。

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Part 4 例题及题解

1.最经典的线段树1，只要把上面代码组合一下就可以过了。此处不贴。

2.守墓人，把上面的代码组合修改就可以过了。我是用分块AC的，代码传送门。

3.题目是一道简单的省选，最大数，代码传送门我的博客（题解）。

4.线段树2，这道题难就难在区间乘。为了时间和精度，我们使用两个 $lazytag$,乘法优先更新，就可以跑过了。

证明：乘法优先的话，不会改变加法的 $lazytag$
的值，使得精度等一系列更优。证毕。

5.最难的一题：线段树3，由于有历史情况，所以我们要维护4种标记，然后跑过。代码和 灵梦 的非常像，但没有抄袭，我是对着TA的打了一遍，那时，我刚学线段树。代码：传送门。

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结：

我希望这篇文章对读者有所帮助。若有建议，可直接在评论区提出。转载私聊。相对来说，这篇文章很详细，因为我自己学这个的时候，别的文章大都有些欠缺，就像那位基友的，导致我不好理解。最近有空，就写篇真正的好文章详解吧！！！

如果觉得这篇文章对您有帮助，可以点个赞吗？？？谢谢阅读。