BZOJ 3560 DZY Loves Math V

最新推荐文章于 2020-01-21 11:47:15 发布

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本文针对BZOJ3560题目提供了解决方案，利用质因数分解的方法来计算每个质因数对答案的贡献，并通过化简公式实现了高效的计算。

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题目链接：BZOJ 3560

首先，可以根据phi函数为积性函数，可以分解质因数，计算每个质因数对答案的贡献，最后乘起来即可。那么现在问题就来了，怎样计算质因数对答案的贡献？我们可以对每个数ai分解质因数，对于它的一个质因数p，记录p出现的次数bi，那么这个质数p对答案的贡献，是对于每个数ai，p的j(1<=j<=bi )次方求积的数的欧拉函数值。然后可以将公式化简。具体化简过程可以参见PoPoQQQ大神的博客：华丽丽的传送门。（不会用公式编辑器的哭了QAQ。）

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long

const int maxn = (int)1e7 + 10;
const int mod = 1000000000 + 7;

int N;

bool vis[4000 + 3];
int prime[4000 + 3];
LL f[maxn];

inline int read(){
	int x = 0, f = 1;char ch = getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x * f;
}

void init(){
	int tot = 0;
	for(int i = 2; i <= 4000; ++i){
		if(!vis[i])prime[++tot] = i;
		for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= 4000; j++){
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)break;
		}
	}
	for(int i = 1; i <= 10000000; ++i)f[i] = 1;
}

LL ni(LL x, LL y, LL m){
	LL t = 1;
	while(y){
		if(y & 1)t = (t * x) % m;
		y >>= 1;
		x = (x * x) % mod;
	}
	return t;
}

int main(){
	N = read();
	init();
	for(int i = 1; i <= N; ++i){
		int x = read();
		
		for(int j = 1; prime[j] * prime[j] <= x; ++j){
			LL t = 1, tot = 1;
			while(x % prime[j] == 0){
				t = (LL) t * prime[j] % mod;
				tot = (tot + t) % mod;
				x /= prime[j];
			}
			f[prime[j]] = (f[prime[j]] * tot) % mod;
		}
		if(x > 1)f[x] = ((LL) f[x] * x + (LL) f[x]) % mod;
	}
	
	LL ans = 1;
	for(int i = 2; i <= 10000000; ++i){
		if(f[i] == 1)continue;
		ans = ans * ((LL) (i - 1) * ni(i, mod - 2, mod) % mod * (f[i] - 1) % mod + 1) % mod;
	}
	ans = (ans + mod) % mod;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}