Lindström–Gessel–Viennot lemma 定理

最新推荐文章于 2021-02-18 02:52:04 发布

自ran而然

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本文探讨了不相交路径的概念及其与权重的关系，并通过矩阵形式表达这些路径的组合情况。利用组合数学中的排列组合原理，推导出了计算特定矩阵的公式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

不相交路径：

e (a, b) = \sum P : a - > b w (P)

$e(a,b)=\sum_{P:a->b}w(P)$

M = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ e (a 1, b 1) e (a 2, b 1) ⋮ e (a n, b 1) e (a 1, b 2) e (a 2, b 2) ⋮ e (a n, b 2) \dots \dots ⋱ \dots e (a 1, b n) e (a 2, b n) ⋮ e (a n, b n) ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$M=\left[ \begin{matrix} e(a_1,b_1) & e(a_1,b_2) & \cdots & e(a_1,b_n) \\ e(a_2,b_1) & e(a_2,b_2) & \cdots & e(a_2,b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e(a_n,b_1) & e(a_n,b_2) & \cdots & e(a_n,b_n) \\ \end{matrix} \right]$

\sum C \subset B 的 重 排 (- 1) τ (C) \prod i = 1 n (c i - a i + n - 1 n - 1)

$\sum {C \subset B\text{的重排}} (-1)^{\tau(C)} \prod_{i=1}^n {c_i-a_i+n-1\choose n-1}$
例子：

M = [e (a 1, b 1) e (a 2, b 1) e (a 1, b 2) e (a 2, b 2)]

$M=\left[ \begin{matrix} e(a_1,b_1) & e(a_1,b_2)\\ e(a_2,b_1) & e(a_2,b_2) \end{matrix} \right]$

$\begin{align} M &=e(a_1,b_1)e(a_2,b_2)-e(a_1,b_2)e(a_2,b_1)\\ &= \binom{b_1-a_1+n-1}{n-1}\binom{b_2-a_2+n-1}{n-1}-\binom{b_2-a_1+n-1}{n-1}\binom{b_1-a_2+n-1}{n-1} \end{align}$

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