计算机图形学 第五章 曲线与曲面（下）

5.3 B 样条曲线与曲面

B 样条曲线方程的定义

Bezier曲线的不足：阶次较大时特征多边形对曲线的控制将会减弱；没有局部性、不能做局部修改；拼接较复杂

B 样条曲线方程： $P(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{N}_{i,k}(t)$ ，其中：

• $P_i(i=0,1,...,n)$ 是控制多边形的顶点
• 给定参数 $t$ 轴上的一个分割 T={ti: t0≤ti≤...≤tn+k}T=\{t_i:\,t_0\le t_i\le...\le t_{n+k}\}T={ti​:t0​≤ti​≤...≤tn+k​} ，$T$ 称为节点矢量
• $N_{i,k}(t)$ 称为 $T$ 的 $k$ 阶 B 样条基函数（调和函数），是一个 $k$ 阶（ $k-1$ 次）分段多项式样条。其中每一个称为 B 样条，定义为：

$$\begin{gathered} N_{i,1}(t)=\{\begin{array}{ll}1& t_i\le x\le t_{i+1}\\ 0& else\end{array} \\ {N}_{i,k}(t)=\frac{t-t_i}{t_{i+k-1}-t_i}{N}_{i,k-1}(t)+\frac{t_{i+k}-t}{t_{i+k}-t_{i+1}}{N}_{i+1,k-1}(t) \end{gathered}$$

欲确定第 $i$ 个 $k$ 阶 B 样条 $N_{i,k}(t)$ ，需要用到 $t_i,t_{i+1},...,t_{i+k}$ 共 $k+1$ 个节点，称区间 $[t_i,t_{i+k}]$ 为 $N_{i,k}(t)$ 的支撑区间；

曲线方程中，$n+1$ 个控制顶点 $P_i(i=0,1,...,n)$ ，要用到 $n+1$ 个 $k$ 阶B样条 $N_{i,k}(t)$ ，它们支撑区间的并集定义了这一组B样条基的节点矢量 $T=[t_0,t_1,...,t_{n+k}]$ ；

B 样条基函数的性质

局部支撑性是最重要的性质

局部支撑性： $N_{i,k}(t)=\{\begin{array}{ll}\ge 0& t\in [t_i,t_{i+k}]\\ =0& else\end{array}$

权性： $\sum _{i=0}^n{N}_{i,k}(t)=1$ ，$t\in [t_{k-1},t_{n+1}]$

微分公式： $N_{i,k}^{\prime }(t)=\frac{k-1}{t_{i+k-1}-t_i}{N}_{i,k-1}(t)-\frac{k-1}{t_{i+k}-t_{i+1}}{N}_{i+1,k-1}(t)$

次数：

• $N_{i,k}(t)$ 在每一段 $[t_i,t_{i+k}]$ 上都是次数不高于 $k-1$ 的多项式
• $N_{i,k}(t)$ 在 $l$ 重结点处的连续阶不低于 $k-1-l$ 阶：$t_{i-1}<t_i=t_{i+1}=...=t_{i+l-1}<t_{i+l}$

B 样条曲线的类型划分

① 按照首末端点是否重合，分为闭曲线和开曲线；闭曲线又区分为周期和非周期两种情形：

• 周期闭曲线在首末端点是 $C^2$ 连续的，而非周期闭曲线一般是 $C^0$ 连续的
• 非周期闭曲线可以认为是开曲线的特例，按开曲线处理

② 按照节点矢量中节点的分布情况，分为四种类型：

• 均匀 B 样条曲线：节点矢量中节点沿参数轴均匀或等距分布
• 准均匀 B 样条曲线：与均匀 B 样条曲线差别在于两端节点具有重复度 k
• 分段 Bezier 曲线：节点矢量中，两端点节点具有重复度 k，所有内节点重复度为 k - 1
• 非均匀 B 样条曲线：节点矢量中的节点任意分布

（重复度就是指节点矢量中连续相等的节点数，比如某段区间有 $t_{j-1}<t_j=t_{j+1}=...=t_{j+l-1}<t_{j+l}$ ，则中间相等的节点称为 $T$ 的 $l$ 重节点 ）

B 样条曲线的性质

局部性是最重要的性质，要记住下标

局部性：

• B 样条曲线上参数为 $t\in [t_i,t_{i+1}]$ 的点 $P(t)$ 至多与 $k$ 个控制顶点 $P_j(i-k+1,...,i)$ 有关，而与其他控制顶点无关；
• 移动点该曲线第 $i$ 个控制顶点 $P_i$ 至多影响到定义在区间 $(t_i,t_{i+k})$ 上（即 $N_{i,k}(t)$ 支撑区间上）那部分曲线的形状，对曲线其余部分不发生影响

连续性：

分段参数多项式、导数公式：

凸包性、变差缩减性、几何不变性、仿射不变性： 与 Bezier 曲线相同

直线保持性： 控制顶点形成一条直线时，构成的 B 样条曲线也是一条直线

造型灵活性： 可以构造直线段、尖点、切线、过定点等特殊情况

B 样条曲线的矩阵表示

（这里只研究一次、二次和三次的均匀 B 样条曲线的矩阵表示；一次没有考过，都是考二次和三次；给出矩阵，写出代数形式，然后推导一阶、二阶的位置矢量和导数矢量，可能会画图）

一次 B 样条曲线

每相邻两个点可构造出一段一次 B 样条曲线

二次 B 样条曲线

每相邻三个点可构造出一段一次 B 样条曲线

三次 B 样条曲线

每相邻四个点可构造出一段一次 B 样条曲线

de Boor 算法

写出顶点的递推关系；注意下标；只需要画示意图，不需要精确作图

类似于 Bezier 曲线的 de Casteljau 算法，不用带入方程去求出曲线上的某一点，而是采用递归的方式求出：
$$\begin{gathered} P_i^{[r]}(t)=\{\begin{array}{ll}{P}_i& r=0,i=j-k+1,...,j\\ \frac{t-t_i}{t_{i+k-r}-t_i}{P}_i^{[r-1]}(t)+\frac{t_{i+k-r}-t}{t_{i+k-r}-t_i}{P}_{i-1}^{[r-1]}(t)& else\end{array} \\ r=1,2,...,k-1;i=j-k+r+1,...,j \end{gathered}$$
最终迭代 $k$ 次，得到 $P(t)=P_j^{[k-1]}(t)$

节点插入算法

一般不会考的

B 样条曲面

一般不会考的

5.4 NURBS曲线与曲面

NURBS 曲线的定义

记住NURBS的全称

NURBS（non-uniform rational B-spline）：非均匀有理 B 样条方法

（有理曲线就是，比如在平面上用参数方程表示曲线时，$x(t)$ 和 $y(t)$ 都是有理函数）

优点： NURBS 既与描述自由型曲线、曲面形状的 B 样条方法相统一，又能精确表示二次胡与二次曲面（初等曲线、曲面）

定义： NURBS 曲线是由分段有理 B 样条多项式基函数定义的，给每个控制顶点加上了加上了权重因子（在 B 样条的基础上增加了一个吸引力权重，权重反映了控制顶点对曲线的吸引程度）：
$$P(t)=\frac{\sum _{i=0}^n{\omega }_i{P}_i{N}_{i,k}(t)}{\sum _{j=0}^n{\omega }_j{N}_{j,k}(t)}=\sum _{i=0}^n{P}_i{R}_{i,k}(t)R_{i,k}=\frac{{\omega }_i{N}_{i,k}(t)}{\sum _{j=0}^n{\omega }_j{N}_{j,k}(t)}$$
$R_{i,k}(t)(i=0,...,n)$ 称为 $k$ 阶有理基函数

NURBS 曲线的性质

最重要的还是局部性

① NURBS 基函数的性质：

局部支撑性： $R_{i,k}(t)=0,t\notin [t_i,t_{i+k}]$

权性： $\sum _{i=0}^n{R}_{i,k}(u)=1$

可微性： 若分母不为零，

• 在节点区间内无限次连续可微；
• 在节点处 $(k-1-r)$ 次连续可微， $r$ 是该节点的重复度；

② NURBS 曲线的性质：

局部性质：

• $k$ 阶 NURBS 曲线上参数为 $t\in [t_i,t_{i+k}]\subset [t_{k-1},t_{n+1}]$ 的一点 $P(t)$ 至多与 $k$ 个控制顶点 $P_j$ 及权因子 ${\omega }_j(j=i-k+1,...,i)$ 有关，与其他顶点和权因子无关；
• 若移动 $k$ 次 NURBS 曲线的一个控制顶点 $P_i$ 或改变其对应的权因子 ${\omega }_i$ ，则仅仅影响定义在区间 $[t_i,t_{i+k}]\subset [t_{k-1},t_{n+1}]$ 那部分曲线的形状

变差缩减性、凸包性、仿射与透射变换不变性： 与 Bezier 曲线相同

权因子的几何意义

要记住形状因子和权因子对曲线的影响表现在图上的样子

记 $B$ 、$N$ 、$B_i$ 分别为 ${\omega }_i=0$ 、${\omega }_i=1$ 和 ${\omega }_i\ne 0,1$ 对应曲线上的点，即：$B=P(t;{\omega }_i=0)$ ，$N=P(t;{\omega }_i=1)$ ，$B_i=P(t;{\omega }_i\ne 0,1)$ ，$P_i=P(t;{\omega }_i\to \infty )$

（$B$ 代表 $P_i$ 完全没有影响时曲线的形状；$N$ 代表 $P_i$ 的影响力和在 B 样条曲线中影响力一样时曲线的形状；$B_i$ 代表在 B 样条曲线的基础上对 $P_i$ 增加或减少影响力时曲线的形状）

令 $\alpha =R_{i,k}(t;{\omega }_i=1)$ ，$\beta =R_{i,k}(t)$ ，则：
$$\begin{gathered} N=(1-\alpha )B+\alpha P_i{B}_i=(1-\beta )B+\beta P_i \\ N-B=\alpha (P_i-B)B_i-B=\beta (P_i-B) \end{gathered}$$
$(P_i,B_i,N,B)$ 四点的交比为：
$$\frac{1-\alpha }{\alpha }:\frac{1-\beta }{\beta }=\frac{P_{i}N}{BN}:\frac{P_i{B}_i}{B{B}_i}={\omega }_i$$

• 若 ${\omega }_i$ 增大或减小，则 $\beta$ 页增大或减小，所以曲线被拉向或者推离开 $P_i$ 点
• 若 ${\omega }_i$ 增大或减小，则曲线被推离开或者拉向 $P_j(j\ne i)$ 点
• 随着 $B_i$ 的运动，它扫描出一条直线 $B{P}_i$
• 若 $B_i$ 趋向 $P_i$ ，则 $\beta$ 去向 1，${\omega }_j$ 趋向正无穷

圆锥曲线的 NURBS 表示

取节点向量为 $T=[0,0,0,1,1,1]$ ，则 NURBS 曲线退化为二次 Bezier 曲线，可以证明这是圆锥曲线弧方程：
$$P(t)=\frac{(1-t^2){\omega }_0{P}_0+2t(1-t){\omega }_1{P}_1+t^2{\omega }_2{P}_2}{(1-t^2){\omega }_0+2t(1-t){\omega }_1+t^2{\omega }_2}$$

形状因子： $C_{sf}=\frac{{\omega }_1^2}{{\omega }_0{\omega }_2}\begin{array}{cccccc}{C}_{sf}& 0& (0,1)& 1& (1,+\infty )& \to +\infty \\ 曲线& P_0{P}_2& 椭圆& 抛物线& 双曲线& P_0{P}_1和P_1{P}_2\end{array}$

NURBS曲线的修改

常用方法：修改权因子、修改控制点、反插节点

NURBS曲面

一般不会考的 注意这里权因子的下标变成了 ${\omega }_{ij}$

5.5 Coons曲面

Coons 曲面的定义

属于构造插值曲面的方法，用于构造通过给定型值点的曲面

基本概念： 假定参数曲面方程为 $P(u,v)(u,v\in [0,1])$

• 曲面片的四条边界：$P(u,0)$ ，$P(u,1)$ ，$P(0,v)$ ，$P(1,v)$
• 曲面片的四个角点：$P(0,0)$ ，$P(0,1)$ ，$P(1,0)$ ，$P(1,1)$

要解决的问题： 给定四条在空间中围成封闭曲边四边形的参数曲线 $P(u,0)$ ，$P(u,1)$ ，$P(0,v)$ ，$P(1,v)$ ，构造一张参数曲面 $P(u,v)(u,v\in [0,1])$

方法： 双线性 Coons 曲面和双三次 Coons 曲面

双线性 Coons 曲面

这些内容都要记住，给出图形，写出双线性构造的算法；双三次计算量较大，不太可能会考

① 首先，在 $u$ 向进行线性插值，得到以 $P(0,v)$ 和$P(1,v)$ 为边界的直纹面（如图 (b) ）：
$$P_1(u,v)=(1-u)P(0,v)+uP(1,v)$$
② 接着，在 $v$ 向进行线性插值，得到以 $P(u,0)$ 和$P(u,1)$ 为边界的直纹面（如图 (a) ）：
$$P_2(u,v)=(1-v)P(u,0)+vP(u,1)$$
③ 再构造两条 $v$ 向的连接端点的直线段：
$$\begin{gathered} (1-v)P(0,0)+vP(0,1) \\ (1-v)P(1,0)+vP(0,1) \end{gathered}$$
以这两条直线段为边界，构造直纹面 $P_3(u,v)$ ：
$$\begin{gathered} P_3(u,v)=(1-u)[(1-v)P(0,0)+vP(0,0)]+u[(1-v)P(1,0)+vP(1,1)] \\ =\left[\begin{array}{cc}1-u& u\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}P(0,0)& P(0,1)\\ P(1,0)& P(1,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1-v\\ v\end{array}\right]u,v\in [0,1] \end{gathered}$$
④ $P(u,v)=P_1(u,v)+P_2(u,v)-P_3(u,v)$ 便是所要构造的面，矩阵形式为：
$$P(u,v)=-\left[\begin{array}{ccc}-1& 1-u& u\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& P(u,0)& P(u,1)\\ P(0,v)& P(0,0)& P(0,1)\\ P(1,v)& P(1,0)& P(1,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 1-v\\ v\end{array}\right]u,v\in [0,1]$$

双三次 Coons 曲面

建议直接背诵[流汗]

① 使用 Hermite 基函数 $F_0$ 、$F_1$ 、$G_0$ 和 $G_1$ 作为调和函数，构造 $u$ 向和 $v$ 向的曲面：
$$\begin{gathered} P_1(u,v)=F_0(u)P(0,v)+F_1(u)P(1,v)+G_0(u)P_u(0,v)+G_1(u)P_u(1,v) \\ {P}_2(u,v)=F_0(v)P(u,0)+F_1(v)P(u,1)+G_0(v)P_v(u,0)+G_1(v)P_v(u,1) \end{gathered}$$
$P_u$ 、$P_v$ 指切矢量，$u,v\in [0,1]$

② 对角点的数据进行插值，可得曲面 $P_3(u,v)$ ：（ $u,v\in [0,1]$ ）
$$P_3(u,v)=\left[\begin{array}{cccc}{F}_0(u)& F_1(u)& G_0(u)& G_1(u)\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}P(0,0)& P(0,1)& P_v(0,0)& P_v(0,1)\\ P(1,0)& P(1,1)& P_v(1,0)& P_v(1,1)\\ P_u(0,0)& P_u(0,1)& P_{uv}(0,0)& P_{uv}(0,1)\\ P_u(1,0)& P_u(1,1)& P_{uv}(1,0)& P_{uv}(1,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{F}_0(v)\\ F_1(v)\\ G_0(v)\\ G_1(v)\end{array}\right]$$
③ $P(u,v)=P_1(u,v)+P_2(u,v)-P_3(u,v)$ 便是所要构造的面，矩阵形式为：（ $u,v\in [0,1]$ ）
$$P(u,v)=-\left[\begin{array}{ccccc}-1& F_0(u)& F_1(u)& G_0(u)& G_1(u)\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}0& P(u,0)& P(u,1)& P_v(u,0)& P_v(u,1)\\ P(0,v)& P(0,0)& P(0,1)& P_v(0,0)& P_v(0,1)\\ P(1,v)& P(1,0)& P(1,1)& P_v(1,0)& P_v(1,1)\\ P_u(0,v)& P_u(0,0)& P_u(0,1)& P_{uv}(0,0)& P_{uv}(0,1)\\ P_u(1,v)& P_u(1,0)& P_u(1,1)& P_{uv}(1,0)& P_{uv}(1,1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ F_0(v)\\ F_1(v)\\ G_0(v)\\ G_1(v)\end{array}\right]$$