信息熵,交叉熵,相对熵

本文深入探讨了信息熵的概念,即衡量系统不确定性的指标,以及交叉熵在神经网络中的应用,特别是在分类任务中作为损失函数的角色。同时,介绍了相对熵(散度)的概念,即编码方案不完美时平均编码长度的增加部分。

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信息熵:衡量系统中不确定的程度、编码方案完美时,最短平均编码长度
交叉熵:码方案不一定完美时(由于对概率分布的估计不一定正确),平均编码长度。是神经网络常用的损失函数
相对熵又称为散度:交叉熵-信息熵,relative entropy。编码方案不一定完美时,平均编码长度相对于最小值的增加值。
参考链接:https://www.zhihu.com/question/41252833
神经网络中为什么使用交叉熵与softmax组合的原因?
交叉熵刻画的是预测的分布与真实分布之间的差异,softmax可以将预测的值转化成一个概率分布。

为什么用交叉熵作为分类的损失函数?

https://blog.youkuaiyun.com/weixin_37567451/article/details/80895309

### 信息熵 信息熵是一种衡量随机变量不确定性的指标。对于离散型随机变量 \(X\),其概率质量函数为 \(P(X)\),则信息熵定义如下: \[ H(X) = - \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log_2(P(x_i)) \] 其中,\(P(x_i)\) 表示事件 \(x_i\) 发生的概率[^1]。 信息熵越高,则系统的不确定性越大;反之亦然。 --- ### 交叉熵 交叉熵是用来衡量两个概率分布之间差异的一种方法,在机器学习中广泛应用于分类任务中的损失计算。假设真实分布为 \(P\),预测分布为 \(Q\),那么交叉熵可以表示为: \[ H(P, Q) = - \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log(Q(x_i)) \] 这里需要注意的是,交叉熵不仅依赖于真实的概率分布 \(P\),还取决于模型预测的概率分布 \(Q\)。因此,它是评估模型性能的重要工具之一[^2]。 --- ### KL 散度 KL 散度(Kullback-Leibler divergence),也称为相对熵,用于量化两个概率分布之间的差异程度。给定两个概率分布 \(P\) 和 \(Q\),KL 散度的公式为: \[ D_{KL}(P || Q) = \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \log{\frac{P(x_i)}{Q(x_i)}} \] 值得注意的是,KL 散度具有 **非对称性** 和 **非负性** 的特点。即通常情况下 \(D_{KL}(P || Q) \neq D_{KL}(Q || P)\)[^3]。 --- ### JS 散度 JS 散度(Jensen-Shannon divergence)是对称版本的 KL 散度,解决了 KL 散度不对称的问题。它通过引入中间分布来实现这一点。设 \(M = \frac{1}{2}(P + Q)\),则 JS 散度可写成: \[ D_{JS}(P || Q) = \frac{1}{2} D_{KL}(P || M) + \frac{1}{2} D_{KL}(Q || M) \] 由于 JS 散度基于 KL 散度构建,所以它的取值范围在 \([0, 1]\) 内,并且满足对称性和有限性条件。 --- ### 定义区别与联系 | 指标 | 描述 | |------------|------------------------------------------------------------------------------------------| | **信息熵** | 测量单个随机变量本身的不确定性 | | **交叉熵** | 度量两个概率分布间的差异,主要用于监督学习中的目标优化 | | **KL 散度** | 计算一个分布相对于另一个分布的信息增益或“距离”,是非对称的 | | **JS 散度** | 基于 KL 散度改进而来,解决非对称问题并提供更稳定的数值表现 | 这些概念都属于信息论范畴,但在实际应用中有不同的侧重点。例如,交叉熵被频繁用作神经网络训练的目标函数,而 KL 散度更多地出现在变分推断等领域。 --- ### 在机器学习和深度学习中的作用 - **信息熵**:帮助理解数据集内部结构以及特征的重要性。 - **交叉熵**:作为分类任务的核心损失函数,指导模型参数调整以最小化误差。 - **KL 散度**:适用于生成对抗网络 (GANs) 或变分自编码器 (VAEs) 中隐空间分布匹配的任务。 - **JS 散度**:相比 KL 更加稳定可靠,尤其适合处理不平衡样本情况下的相似度比较场景。 --- ####
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