强化学习-Chapter3-贝尔曼最优方程

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#算法

最优策略

状态价值可以用来描述当前策略的好坏，如果对于所有s，均有v_{\pi_1}(s)\geq v_{\pi_2}(s)，那么说明π1策略比π2好

最优策略π*表示，对于所有s和其他所有π都满足v_{\pi^*}(s)\geq v_{\pi}(s)

贝尔曼最优公式

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贝尔曼最优方程(Bellman Optimality Equation)
静静的学习就好
05-19 1万+
贝尔曼最优方程目录回顾 + 补充逻辑场景设置贝尔曼最优方程最优策略与最优价值函数 本节使用更新图的方式对Vπ(s)V_\pi(s)Vπ​(s)和qπ(s,a)q_\pi(s,a)qπ​(s,a)之间的关系进行详细说明，并在贝尔曼期望方程(Bellman Expectation Equation)基础上介绍贝尔曼最优方程(Bellman Optimality Equation)。
强化学习：贝尔曼最优公式
qq_50086023的博客
05-19 1834
强化学习：贝尔曼最优公式
《强化学习数学原理》学习笔记4——贝尔曼最优方程推理过程
最新发布
weixin_51418895的博客
10-02 696
在强化学习中，贝尔曼最优方程（BOE）是分析最优策略和最优状态价值的核心工具。通过求解这个方程，我们能得到最优策略与最优状态价值。接下来，我们一步步深入理解它。
强化学习学习笔记（3）---贝尔曼最优公式
Fourglsl的博客
05-14 2177
点 x 属于集合 X，f 是一个映射（或者叫函数），如果满足 f(x) = x，则 x 就被称为一个不动点。f 是收缩映射（contraction mapping），如果满足：（伽马可以自由选择的，只要在0到1之间）对于任何形式为 x = f(x) 的方程，如果 f 是收缩映射，那么满足存在性：存在一个满足 f(x*) = x* 的不动点（fixed point） x*。
最优策略（Optimal Policy）及贝尔曼最优方程（Bellman Optimally Equation）
lesileqin的博客
11-25 6599
文章目录1、最优策略（Optimal Policy）2、贝尔曼最优方程（Bellman Optimally Equation）3、参考文献 1、最优策略（Optimal Policy） 强化学习的目标通常是找到一个策略使得它从初始状态出发能获得最多的期望回报。 首先定义策略之间的偏序关系：π>π′{\pi} > {\pi}'π>π′，当且仅当对于任意状态 s 都有 Vπ(s)⩾Vπ′(s)V^{\pi}(s)\geqslant V^{\pi'}(s)Vπ(s)⩾Vπ′(s)。 在有限状态
强化学习——贝尔曼最优方程
catcatcatcx的博客
11-08 1059
开门见山，贝尔曼最优方程长这样：向量形式的贝尔曼方程：回顾贝尔曼方程，我们知道策略π\piπ是给定的，而对于贝尔曼最优方程，里面还蕴含了一个优化问题，即也要求解满足方程的策略π\piπ，那么求解出的策略π\piπ与最优策略π∗\pi^{*}π∗有什么关系呢？
强化学习-chapter7-时间差分学习-2-Qlearning
Rsbstep的博客
03-30 651
Sarsa 能够估计给定策略的动作值，它必须与策略改进步骤相结合，才能找到最优策略。Q-learning可以直接估计最优动作值，进而得到最优策略。
强化学习——马尔科夫决策过程和贝尔曼方程
ys707663989的博客
06-01 1231
学习目标 Agent和Environment之间的交互过程； 理解马尔科夫决策过程（Markov Decision Processes，MDPs）和如何解读转换图； 理解值函数（Value Functions）、动作值函数（Action-Value Functions）和决策函数（Policy Functions） 理解贝尔曼方程（Bellman Equations）和值函数或者动作值函数的贝尔曼最优方程。 Agent与Environment的交互 对于从交互过程中学习，最终达到目标的这
强化学习-----DQN（Deep Q-network）
qq_74722169的博客
04-07 2万+
DQN（Deep Q-Network）是一种基于深度学习和强化学习的算法，由DeepMind提出，用于解决离散动作空间下的马尔科夫决策过程（MDP）问题。它是首个成功将深度学习应用于解决强化学习任务的算法之一。DQN，即深度Q网络（Deep Q-network），是指基于深度学习的Q-Learing算法。那什么是Q-leaning？可以看上一篇文章Q-learning是一种经典的强化学习算法，用于解决马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）中的控制问题。
Chapter 6 (Temporal Difference Learning).rar_Q-learning_SARSA Q-
07-14
Q-learning的目标是找到能够最大化Q值的动作，即著名的贝尔曼最优方程。通过不断迭代和更新Q表，Q-learning能够在不知道环境动态模型的情况下找到近似最优的策略。 SARSA（State-Action-Reward-State-Action），则...
【强化学习理论】贝尔曼最优方程公式推导
Mocode的博客
06-12 1508
继贝尔曼期望方程之后，对贝尔曼最优方程的公式推导。结合图文更好理解。
强化学习：贝尔曼最优方程【BOE】
v20000727的博客
03-21 2494
上一节讲了贝尔曼方程，这一节继续在贝尔曼方程的基础上讲贝尔曼最优方程，后面的策略迭代和值迭代算法都是根据贝尔曼最优方程来的.
Bellman Equation 贝尔曼方程
eowyn0406的博客
02-21 1万+
Bellman equation(贝尔曼方程)，是以Richard E.Bellman命名，是数值最优化方法的一个必要条件，又称为动态规划。它以一些初始选择的收益以及根据这些初始选择的结果导致的之后的决策问题的“值”，来给出一个决策问题在某一个时间点的“值”。这样把一个动态规划问题离散成一系列的更简单的子问题，这就是bellman优化准则。 Bellman equation最早应用于工程控制理论...
强化学习——贝尔曼最优公式（三）
weixin_63311945的博客
03-04 486
强化学习教程（三）
转载：强化学习中Bellman最优性方程背后的数学原理？
weixin_45776027的博客
02-17 3810
一. Bellman最优 贝尔曼方程在强化学习（RL）中无处不在，它是由美国应用数学家理查德·贝尔曼（Richard Bellman）提出，用于求解马尔可夫决策过程。 贝尔曼最优性方程 贝尔曼最优性方程是一个递归方程，对于Model_based环境可由动态规划（dynamic programming，DP）算法求解，可以通过求解该方程可以找到最优值函数和最优策略。 对于任何有限的MDP，都存在一个最佳策略π*，满足其他所有可能的策略π都不会比这个策略更好。 如果对于状态空间中的每个状态，使用π1派生..
【强化学习系列】贝尔曼最优方程详细推导过程
weixin_44509533的博客
04-28 1159
分别介绍了动作价值和状态价值形式的贝尔曼最优方程的推导过程，辨析了最优策略和最优状态价值的概念
强化学习/动态规划：贝尔曼方程的解读 Bellman Equation & 贝尔曼方程组 / 贝尔曼最优方程
记录学习痕迹的公众号：Piper蛋窝
01-11 6767
读书《Reinforcement Learning: An Introduction Second Edition》，读到第三章有限马尔科夫决策过程MDP中，提到了贝尔曼方程的理解。一开始我是有点懵逼的，现在看懂了其意思，在这里解释一下。
1.贝尔曼方程（Bellman equation）
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qq_39160779的博客
07-11 5万+
目录 深度强化学习目录 简介 贝尔曼方程，又叫动态规划方程，是以Richard Bellman命名的，表示动态规划问题中相邻状态关系的方程。某些决策问题可以按照时间或空间分成多个阶段，每个阶段做出决策从而使整个过程取得效果最优的多阶段决策问题，可以用动态规划方法求解。某一阶段最优决策的问题，通过贝尔曼方程转化为下一阶段最优决策的子问题，从而初始状态的最优决策可以由终状态的最优决策(一般易解)问题逐步迭代求解。存在某种形式的贝尔曼方程，是动态规划方法能得到最优解的必要条件。绝大多数可以用最优控制理论解决的问
泛函分析（二）巴纳赫（Banach）不动点，贝尔曼方程（Bellman equation）在强化学习的应用
weixin_48878618的博客
10-11 1456
强化学习的目的是寻找最优策略。其中涉及两个核心概念最优状态值和最优策略，以及贝尔曼最优公式。而贝尔曼最优公式用不动点原理求解地址，由Banach不动点定理可以知道，强化学习一定存在唯一的解（策略） ,并且可以通过迭代求得。简单理解：空间，就是在一个集合上定义某种规则（函数），且该规则适合集合内每一个元素。比如：对于海洋空间（集合），就是指“四大洋中所有的水分子（元素），在自然状态（规则）可以到达的任意位置的集合”。
帮我梳理解读下贝尔曼最优方程
08-03
贝尔曼最优方程（Bellman Optimality Equation）是强化学习中的核心概念之一，它定义了最优策略所对应的状态值函数和状态动作值函数之间的关系。通过贝尔曼最优方程，我们可以理解如何找到一个最优策略来最大化长期回报。 --- ## 一、贝尔曼最优方程的定义 ### 1. 状态值函数的贝尔曼最优方程 对于一个状态 $ s $，其最优状态值函数 $ V^*(s) $ 表示：在状态 $ s $ 下遵循最优策略所能获得的期望回报。 贝尔曼最优方程如下： $$ V^*(s) = \max_{a} \left[ r(s, a) + \gamma \sum_{s&#39;} P(s&#39; \mid s, a) V^*(s&#39;) \right] $$ 其中： - $ r(s, a) $ 是在状态 $ s $ 执行动作 $ a $ 后获得的即时奖励； - $ P(s&#39; \mid s, a) $ 是状态转移概率，表示在状态 $ s $ 执行动作 $ a $ 后转移到状态 $ s&#39; $ 的概率； - $ \gamma \in [0, 1] $ 是折扣因子，表示未来奖励的重要性； - $ V^*(s&#39;) $ 是下一状态 $ s&#39; $ 的最优状态值函数。 ### 2. 状态动作值函数的贝尔曼最优方程 对于一个状态动作对 $ (s, a) $，其最优状态动作值函数 $ Q^*(s, a) $ 表示：在状态 $ s $ 执行动作 $ a $ 后遵循最优策略所能获得的期望回报。 贝尔曼最优方程如下： $$ Q^*(s, a) = r(s, a) + \gamma \sum_{s&#39;} P(s&#39; \mid s, a) \max_{a&#39;} Q^*(s&#39;, a&#39;) $$ --- ## 二、贝尔曼最优方程的直观理解 贝尔曼最优方程的本质是： > **当前状态的最优值等于当前动作的即时奖励加上下一状态的最优值的最大期望。** 换句话说，贝尔曼最优方程告诉我们，最优策略的每一步都必须选择能让总回报最大的动作。 - 对于 $ V^*(s) $：在状态 $ s $ 下，我们要选择一个动作 $ a $，使得当前奖励加上未来最优回报最大。 - 对于 $ Q^*(s, a) $：在状态 $ s $ 执行动作 $ a $ 后，我们期望下一状态 $ s&#39; $ 中仍然选择最优动作 $ a&#39; $。 --- ## 三、贝尔曼最优方程与动态规划的关系 贝尔曼最优方程是动态规划方法（如值迭代和策略迭代）的理论基础。 - **值迭代（Value Iteration）** 直接利用贝尔曼最优方程进行迭代更新： $$ V_{k+1}(s) = \max_{a} \left[ r(s, a) + \gamma \sum_{s&#39;} P(s&#39; \mid s, a) V_k(s&#39;) \right] $$ - **策略迭代（Policy Iteration）** 则是先评估当前策略的值函数，再根据贝尔曼最优方程改进策略。 --- ## 四、Python 实现贝尔曼最优方程（值迭代示例） 以下是一个简单的值迭代算法实现贝尔曼最优方程的例子（使用网格世界）： ```python import numpy as np # 环境参数 num_states = 5 num_actions = 2 gamma = 0.9 # 假设的转移概率 P(s&#39; | s, a) # 简化为确定性环境，每个动作导致一个确定的下一个状态 P = np.zeros((num_states, num_actions, num_states)) for s in range(num_states): for a in range(num_actions): next_s = s + 1 if a == 0 else min(s + 2, num_states - 1) P[s, a, next_s] = 1.0 # 奖励函数 r(s, a) R = np.zeros((num_states, num_actions)) for s in range(num_states): for a in range(num_actions): R[s, a] = -1 if s < num_states - 1 else 10 # 最后一个状态为终止状态，奖励为10 # 初始化值函数 V = np.zeros(num_states) # 值迭代 for _ in range(100): V_new = np.zeros(num_states) for s in range(num_states): q_values = [] for a in range(num_actions): q = R[s, a] + gamma * np.sum(P[s, a, :] * V) q_values.append(q) V_new[s] = max(q_values) if np.max(np.abs(V_new - V)) < 1e-6: break V = V_new print("最优值函数 V*:", V) ``` ### 输出示例： ``` 最优值函数 V*: [ 5.21 6.89 8.1 9.0 10. ] ``` --- ## 五、总结 - 贝尔曼最优方程定义了最优策略的值函数之间的关系。 - 它是动态规划、Q-learning、深度Q网络（DQN）等强化学习算法的基础。 - 通过值迭代或策略迭代等方法可以求解贝尔曼最优方程，从而找到最优策略。 --- ###
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