POJ1050 To the Max

To the Max

这个题目很经典的说，O（N^3）的DP。

首先偶们考察这样的题目，简化版：

已知一列数，求任意连续若干个数和的最大值。

SAMPLE： 3 2 -6 2 -1 7

原数3        2      -6       2      -1       7 

处理3        5      -1       2       1       8

因为是连续若干个自然数的和，那么，前面的某个数字取与不取的条件在于：以前面这个数字为结尾的连续数的和最大值是否大于0，如果大于0，那么这个数字必然要会出现在包括数字的序列中，否则无法做到最大。

所以，显然。处理的原则是maxn[i]=max{0,maxn[i-1]}+a[i];

由于无须记录位置。所以，可以直接用一个变量sum代替maxn数组。O(n)的扫描即可。

单列数字的问题解决了，下面我们考察多列数字的

sample:

         0    -2    -7    0 

         9     2    -6    2 

        -4     1    -4    1 

        -1     8     0   -2 



我们可以将多列数字转换成单列数字来做！ 可以这样设想，结果是一个长方形，我们把他压扁，使得宽为1。

引入辅助数组st,st[i][j]代表第i列从第1行开始的数字累加到第j行的值。那么，我们每次压扁的时候，就可以用st[i][j]-st[i][k -1]来表示第i列从第k个数字累加到第j个数字的值。达到压缩的效果。然后用上面单列数字的方法来做。算法时间复杂度O (N^3)


#include <iostream> using namespace std; int Rectangle[100][100]; int DpRectangle[100]; int Single_Rectangle[100]; int Max = 0; int main() { int N; //输入矩形数组 cin>>N; for( int i = 0; i < N ; ++i){ for(int j = 0;j < N; ++j ) { cin>>Rectangle[i][j]; } } //动态规划过程N^3的时间复杂度 for(int i = 0; i < N; ++i) for(int j = 0; j < N; ++j) { //初始化一维记录数组为零 for( int k = 0; k < N; ++k ) Single_Rectangle[k] = 0; //把i到j行的数组压缩为一维记录数组 for( int k = 0; k < N; ++k ){ for(int z = i; z <= j; ++z) Single_Rectangle[k] += Rectangle[z][k]; } //初始化动态数组为零 for( int k = 0; k < N; ++k ) DpRectangle[k] = 0; //动态规划计算Single_Rectangle上的任意连续数的最大值 for(int k = 0; k < N; ++k) { if( k == 0 ) { DpRectangle[k] = Single_Rectangle[k]; } else { DpRectangle[k] = ( DpRectangle[k-1] > 0 ? DpRectangle[k-1]: 0 ) + Single_Rectangle[k]; } Max = Max > DpRectangle[k] ? Max : DpRectangle[k]; } } cout<<Max<<endl; return 0; }