BFPTR算法的详细思路及实现步骤（即中位数的中位数算法）

前言

依然是记录一下算法分析课要求的作业：
通过查找中位数来查找第i小值，要求使用BFPRT算法。
(算法不难，奈何很多细节出错，debug搞的人要崩溃，以后一定记着多测试）

BFPRT算法是解决从n个数中选择第k大或第k小的数这个经典问题的著名算法。可以参考这个链接对其进行详细了解。

1.BFPTR算法的优势

相比快速排序Partion，BFPTR算法通过改变了Partion中的pivot值的选取，即选择五分中位数的中位数作为pivot，使划分更加合理，从而避免了最坏情况的发生。

2.算法步骤

（1）将输入数组的n个元素划分为 [n/5] 组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的 n%5 个元素组成。

（2）寻找 [n/5] 个组中每一个组的中位数，首先对每组的元素进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。

（3）对于（2）中找出的 [n/5] 个中位数，递归进行步骤（1）和（2），直到只剩下一个数即为这 [n/5] 个元素的中位数，找到中位数后并找到对应的下标 P。

（4）进行Partion划分过程，Partion划分中的pivot元素下标为 P。

（5）进行高低区判断即可。

BFPTR算法是将数组按第K小（大）的元素划分为两部分。这高低两部分并不要求有序的，通常我们也不需要求出顺序，而只需要求出比K大的或者比K小的。

另外注意一点，求K就是求第n-K+1小，这两者等价。TOP K问题在工程中有重要应用，所以很有必要掌握。

3.详细思路及具体实现

3.1 实现插入排序

由于这个算法要将一个数组分成很多部分，所以对插入排序进行了一些修改，传入一个数组需要排序的起点l和终点r。

//插入排序
void insort(int a[], int l, int r) {
   
   
	for(int m=l+1;m<=r;m++)
		for (int i = m; i > l; i--) {
   
   
			if (a[i] < a[i-1]) {
   
   
				swap(a[i], a[i - 1]);
			}
		}
}

通过以下代码检验了一下

int tt[6] = {
   
    6,7,1,4,10,5 };
	insort(tt, 0, 5);
	for (int i = 0; i < 6; i++) {
   
   
		cout << " " << tt[i];
	}

ok，继续下一步

3.2查找中位数的中位数

运用迭代的思想
1）当一开始得到的数组里只有一个数组时，直接返回该元素。
2）找中位数。我假设lenMiddle为中位数的个数，将每五个数字里面找到的中位数依次放在整个数组的前面，便于后面迭代传值。
（在找中位数的过程中，考虑是否有剩下的 n%5 个元素）
3）找中位数的中位数，并返回。

//查找中位数
int selectMiddle(int a[], int l, int r) {
   
   
	if (l == r)  //只有一个数的时候
		return a[l];
	int len = r - l + 1; //数组长度

	int lenMiddle = len / 5;  //lenMiddle表示有多少个中位数
	if (len % 5 != 0) lenMiddle += 1;

	//寻找中位数的中位数
	int i = l;
	for (int j = 0; j < lenMiddle; j++) {
   
   
		if ((i + 5) < r) {
   
    //五个五个为一组
			insort(a, i, i + 4);
			swap(a[l+j], a[i + 2]);
			i = i + 5;
		}
		else {
   
   //最后剩余的数
			int num = r - i + 1;//计算剩余几个数
			insort(a, i, i + num - 1);
			swap(a[l + j], a[i + num / 2]);
			break;
		}
	}

	if (lenMiddle-1 == l)  //此时数组只有一个元素，特别注意要减一！！！
		return a[lenMiddle];
	return selectMiddle(a, l, l + lenMiddle-1);
}

3.3实现下标查找功能

找到中位数的中位数 t 的下标，用于快排传参

//查找元素t在数组中的位置
int findIndex(int a[], int l, int r, int t) {
   
   
	for (int i = l; i <= r; i++) {
   
   
		if (a[i] == t)
			return i;
	}
	cout << "没有该元素。 " << endl;
	return -1;
}

可以用以下代码对其功能进行检验

//检验findIndex函数
	insort