数学建模竞赛知识点汇总（一）——层次分析法

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简介

层次分析法(AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

步骤

建立层次结构模型

将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策方案，按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图(使用SmartArt生成)。

最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；
中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；
最低层(方案层)：决策时的备选方案；

构造判断矩阵

一致矩阵法，即：

1.不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。

2.对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。

判断矩阵元素 $a_{ij}$ 的标度方法

在这里插入图片描述

计算权重

算术平均值法

将判断矩阵按照列归一化
将归一化的各列相加
将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

假设判断矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ ,
那么算术平均法求得的权重向量
$\omega_{i}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i j}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k j}}$

$\cdots, n)$

几何平均值法

将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
将新的向量的每个分量开n次方
对该列向量进行归一化

假设判断矩阵
$A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$
那么几何平均法求得的权重向量
$\omega_{i}=\frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n} a_{k j}\right)^{\frac{1}{n}}}, \quad(i=1,2, \cdots, n)$

特征值法

求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量
对特征向量归一化

一致性检验

只有通过了一致性检验，才能够使用计算出的权重

定义一致性指标：
$CI=\dfrac{\lambda-n}{n-1}\\ RI=\dfrac{CI_1+CI_2+\dots+CI_{N}}{N}=\dfrac{\dfrac{\lambda_1+\lambda_2+\dots+\lambda_N}{500}-n}{n-1}$
λ：最大特征根；n：唯一非零特征根
$CR=\dfrac{CI}{RI}$
当一致性比率CR<0.1时，认为A的不一致程度在容许范围内，有满意的一致性，通过一致性检验。