[bzoj2005][莫比乌斯反演]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，
栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列
有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，
表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了 一个角上，坐标正好是(0,
0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器 连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k +
1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于 连接线段上存在一棵植物(1,
2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植 物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。
下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20 棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。
在这个例子中，总共产生了36的能 量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

HINT

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

题解

首先找规律
发现一个植物(i,j)挡在他前面的植物个数是gcd(i,j)-1
于是要求

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2*(gcd(i,j)-1)+1)$$
大力推柿子
$$2*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)$$
减一提出来变成
$$2*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-n*m$$
于是我们就要求一个
$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)$$
设gcd(i,j)=k，设f[k]表示gcd为k的数对个数
设F[k]表示公因数为k的数对个数，明显满足莫比乌斯反演第二个公式
于是
$$f[k]=\sum_{k|d}mu[d/k]F[d]$$
大力莫反即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
int mu[111000],pri[111000],pr,pre[111000];
bool v[111000];
void getmu(int MAXN)
{
    mu[1]=1;memset(v,true,sizeof(v));
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(v[i])
        {
            pri[++pr]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=pr && i*pri[j]<=MAXN;j++)
        {
            v[i*pri[j]]=false;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[i*pri[j]]=0;
                break;
            }
            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<=MAXN;i++)pre[i]=pre[i-1]+mu[i];
}
int n,m;
int F[111000],f[111000];
LL ans;
inline int gcd(int a,int b){return a==0?b:gcd(b%a,a);}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);if(n<m)swap(n,m);
    getmu(n);ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        LL tmp=0,next;
        for(int j=1;j<=m/i;j=next+1)
        {
            next=min((n/(n/j)),m/(m/j));
            tmp+=(LL)(pre[next]-pre[j-1])*(n/(j*i))*(m/(j*i));
        //  tmp+=(LL)mu[j/i]*(n/j)*(m/j);
        }
        ans+=tmp*(LL)i;
    }
    printf("%lld\n",(LL)2*ans-(LL)n*m);
    return 0;
}