[bzoj2423][DP]最长公共子序列

Description

字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列 < i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij
= yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。对给定的两个字符序列，求出他们最长的公共子序列长度，以及最长公共子序列个数。

Input

第1行为第1个字符序列，都是大写字母组成，以”.”结束。长度小于5000。
第2行为第2个字符序列，都是大写字母组成，以”.”结束，长度小于5000。

Output

第1行输出上述两个最长公共子序列的长度。
第2行输出所有可能出现的最长公共子序列个数，答案可能很大，只要将答案对100,000,000求余即可。

Sample Input

ABCBDAB.

BACBBD.

Sample Output

4

7

题解

好神呐这个DP
第一问可以设f[i][j]表示在第一个串中1~i，第二个串中1~j的LCS长度
转移
如果s1[i]==s2[j],f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j],f[i-1][j-1]+1)
否则 f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j])
在第一问的基础上我们可以设出第二问的g[i][j]表示在第一个串中1~i，第二个串中1~j，LCS为f[i][j]的方案数
如果s1[i]==s2[j],g[i][j]=g[i-1][j-1]
然后我们讨论一下f[i][j],f[i-1][j],f[i][j-1]的相同关系
如果f[i][j]=f[i-1][j],g[i][j]+=g[i-1][j]
如果f[i][j]=f[i][j-1],g[i][j]+=g[i][j-1]
如果f[i][j]=f[i-1][j-1],g[i][j]-=g[i-1][j-1]
因为如果第三个关系成立的话，1,2也一定都是成立的，那么他们会多算一个g[i-1][j-1]
减去即可
记得滚动

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod=100000000;
int f[2][5100],g[2][5100];
char s1[5100],s2[5100];
int main()
{
    scanf("%s",s1+1);int lx=strlen(s1+1)-1;
    scanf("%s",s2+1);int ly=strlen(s2+1)-1;
    int st=0;
    for(int i=0;i<=ly;i++)g[0][i]=1;g[1][0]=1;
    for(int i=1;i<=lx;i++)
    {
        st^=1;
        for(int j=1;j<=ly;j++)
        {
            g[st][j]=0;f[st][j]=max(f[st^1][j],f[st][j-1]);
            if(s1[i]==s2[j])f[st][j]=max(f[st][j],f[st^1][j-1]+1);
            if(s1[i]==s2[j] && f[st][j]==f[st^1][j-1]+1)g[st][j]=(g[st][j]+g[st^1][j-1])%mod;
            if(f[st][j]==f[st^1][j])g[st][j]=(g[st][j]+g[st^1][j])%mod;
            if(f[st][j]==f[st][j-1])g[st][j]=(g[st][j]+g[st][j-1])%mod;
            if(f[st][j]==f[st^1][j-1])g[st][j]=(g[st][j]-g[st^1][j-1]+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%d\n%d\n",f[st][ly],g[st][ly]);
    return 0;
}