thuwc2020咕咕记+题解

前言

upd:更新了口胡题解
upd2: 全部fixed了…

不知道起啥名字。那就咕咕咕吧
这次看起来能写长一点…
看我心情

Day -?

隔壁的初审出了
thu的初审也出了
发现thu今年的分数线怎么比pku低这么多
人多警告
于是和艹哥还有远哥过了thu的初审

Day 0

坐飞机
似乎看了个很爽的电影。下飞机穿着广东穿的单薄卫衣差点没把我吹死
这温差也太大了吧，风怎么也这么大啊。
脸都要被吹没了
人没了人没了

然后教练以打车太贵的名义带我们坐地铁，站了快两个小时后终于苟到了酒店，结果人均跟打车看起来五五开…血亏。
到了之后发现房间居然还没打扫好，于是在大堂咕咕咕了一小时…
晚上去吃烤肉，在消费巨高的帝都成功苟命。然后回房战斗
听说pku今天没有试机qaq

11点睡了，感觉十分干燥
室内室外的温差是真的大啊。

Day1

出去吃沙县。
蒸饺好吃，还想继续吃。

吃完就出发去thu了，路上手差点要被吹成手雕。到了门口一看果然被家长堵的水泄不通…比较奇怪的是这次不在那个地下室考，换了一个更高明更多机房的地方考。报道还发了个围巾，巨型好评比隔壁不知道高明到哪去了
试机题是thuwc2018的题，调gedit的配置调了一年，还直接把一台电脑给试没了。于是随便把第一题写了就没时间跑路了。反正听说后面两个题不能搞的。
中午去蹭羊老师的饭。比我们学校不知道高明到哪去了。16块就有一大盘意面/se 随便聊了点东西就跑路了

下午开考，题面不记得了。似乎可以在$ouuan$的博客上找到）
花了5min写好gedit的配置，有一键编译和运行简直就是爽的飞天。

看题。第一题什么鬼，这$k$一定很小，往下一拉$k\le 20$。
上面居然还有$k=1$的分，这难道不是明示把每个人拆开看然后转移取$min$？从后往前维护$k$个单调栈上二分就可以了吧…$kn\log n$，随便一写10min写完就过了。交上去居然还可以看final test的结果的。奇妙无比

这第二题什么鬼，明示我动态维护这个基环树？这是不是可以写个$lct$把根丢在环上来搞啊，看起来很对啊。于是当机立断立刻开写，写了1h发现情况实在太多不是人写的，觉得能切掉的人应该也不多，于是开始糊暴力
写了一发暴力，发现居然过了一车task。这pt莫不是拿脚造的…
开始写$w=1e18$，随便写了个倍增就过去了。
开始写树，随便剖了一下再套一个线段树二分就过去了。
于是$pt=57$，看起来下面有个task应该不能过。于是应该$final=49$

这第三题什么鬼，不会啊。
想了个假结论，乱fix了几发，还好都被我手造的数据给卡了… 于是开始堆暴力。
写个暴力只有$4$分的好成绩，写个$X=299999$又有$4$分的好成绩。发现$X=299900$最多只有$100$个点的区间，然后思考了一下发现这个东西如果要强行卡的话很难卡住，加个记忆化后似乎就可以暴力踩过去了，然后又获得了$16$分的好成绩。然后开始乱搞性质点，发现一条链貌似极其可做，可以大力转化成一个森林，连通块个数就是没有向前连边的点的个数。直接拿个$set$预处理一下$[l,r]$表示询问在其中的时候这个点不会向前连边，询问就直接是个二维数点了。然后又获得了$16$分的好成绩，然后比赛就结束了…

今天出来貌似是$pt=100+57+40=197$…感觉极其大众还没算fst的

晚上去吃火锅。然后学长们一直在聊聊聊，我就一直在吃吃吃。除了吃的晚了点没法回去颓外都挺不错的。
大概11点又睡了

Day2

不想早起，于是在房间里解决早餐。然而貌似预估时间错误，走是不可能及时到的了，于是直接骑了个车莽进thu。顺便get了剩下几天的代步工具。成功在开始前5min抵达考场。大力敲完gedit配置
一键编译和一键运行是真的香啊

开考，发现这个第一题我不会做。猜了个结论跑，结果直接莽过了$task2,3,4$，剩一个$task1$不会。然后想了想貌似可以手造一个卡掉，但是似乎大一点的我就很难弄出来了。出题人都是懒的直接拼起来，假装能过。挂了个拍试图找个挂的数据，结果最后都没拍出来…

发现这个第二题我也不会做。似乎$DAG$题我都不会做。然后一直在上厕所游荡，发现很多鸽鸽敲起来了线段树/splay合并。莫不是在写那个5min被我叉掉的做法qaq…？ 试图刚出来正解然而并没有什么用，浪费了无数时间最终选择写暴力后滚去了第三题…
隔壁的两位鸽鸽都调这个合并调到了结束…为他们默哀…

这个第三题看起来十分可做，在草稿纸上推了推感觉肯定只与前缀最大值相关。然而当时头脑混乱并没有直接推出来式子是什么，于是先写了一个阶乘的不记得多少分暴力。然后又回去刚第二题
发现还有$40min$的时候选择放弃第二题，回来打了个表。发现确实只与前缀最大值的个数相关，只需要知道就可以$O(\log n)$来算了。貌似结论是啥$(i+1)!\times (K+1{)}^i$这种形式的…忘了。
还需要判断可行性，似乎是最后必须要是前$K$大就是充要了
发现还有$20min$，迅速$rush$了一个询问一直是$[1,n]$的sub，获得了不记得多少分的分数。然后比赛就结束了…出门的时候想了想感觉会了${\log }^2$做法…感觉十分败笔，不来刚$t2$选择刚$t3$这把我就赢了。
$pt=100+20+27=147$，第一题极有可能fst掉…

然而两天考场都有一个鸽鸽开场就狂敲然后提前离场，感觉实属恐怖无比。

回去啃了汉堡就睡了。
五点起来去吃了个面，吃完发现可能又赶不上了。于是再次骑车莽进thu

这次造cache总比造路由器好多了qaq
开始的时候居然还没有下发《学习手册》，感觉很憨。

第一题不知道是在干什么，看了大半本手册都不知道问题在哪。终于在倒数第二页发现了一个奇怪的表格。根据表格写了半天大模拟终于一遍过了$pt$…
第二题不知道是在干什么，似乎又是个大模拟
然后写了一个发现第一个task都过不去…点开.in似乎这个东西不是整数而是二进制数？，改成二进制仍然过不去。答疑了$n$次得到了无数个$\text{no response}$…最后一气之下改成了字符串哈希，终于过了
然后后面基本都是看懂就会。一路写下去，顺便发现那个问题原来在于…这个东西原来是个$10$进制数
写完就剩下$10min$了，把第三题题面看了看就结束了。感觉打了个大众分低下的分数…$pt=40+56+96$

晚上回宾馆快乐颓废。

Day3

早上被一个电话吵醒，发现教练五点给我发面试通知，然后好像昨晚$11$点半我就进面试了…
于是去面试，家长又是一车。
在座位上写自我介绍，抄了抄lh大爷的…今年居然给用手机，之前sc的时候是不给的qaq…
去面试的时候遇见了个奇妙老哥，出门大喊自己凉了，然后得到了yyl的diss
自我介绍被打断：“讲重点”
给了我篇居然能看懂的英文…大概是讲图论的一些基本定义。然后念完之后面试官用英文向我发问…我的poor english仅限于能听懂而不能表达自我啊qaq…随便糊了个dij用于导航之类的就尴尬了。
还剩半分钟似乎就问了我个奇怪问题。大概是一个人永远真，一个人永远假，两个人认识对方。你问一个问题来区分这两个人
发现我不会，于是尴尬了半分钟后被面试官挥手赶走了…
回房问艹哥，发现原来是智慧题。
面试估计垫底了。

下午去讲座，本来以为有讲题，结果发现一直在讲去年讲过的吹水课件…
吹水就吹水吧，这个厅这么小怎么家长还这么热情堆在后面…于是被迫坐在了门口玩手机
面基了lhf，一同狂喷奇怪制度以及题目。感觉gd老哥还是热情人好/cy
咕咕咕到四点半，发现招办的人来了。于是跟着招办挤过了人群
发奖不按顺序发，按学校发…于是也无从得知人数
最终还是苟到了个一等奖吧…上一个赛季的遗憾也算是完满了

嗯。然后就跑路回广东了

Day 4

还是广东舒服呀！

题解

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Day1T1

多个人的情况与一个人没有差别，下一个转移的状态只需要分别对每个取min即可。从后往前维护k个单调栈上面二分即可得到答案。复杂度$Kn\log n$

Day1T2

裸的LCT维护基环树 谁爱写去写去吧。

Day1T3

upd 2020/07/27：更新一个简单的做法
当时做这个题的时候构造方法过于麻烦。我们再推一遍

由于点之间有边的充要条件是树上距离$\le x$，我们尝试对每个树上连通块找一个关键点出来代表这个关键点。然后根据$\le x$的这个性质，我们尝试用BFS序来给其维护

因为BFS序存在一个性质：满足若在BFS序条件下$i<j<k$，且$(i,k),(j,k)$之间的距离均$\le x$时，$(i,j)$之间的距离也$\le x$。我们考虑将点$z$的父亲定为BFS序比自身小的的满足$dis(z,i)\le x$的点$i$（多个可以任选一个）。我们考虑证明，每个非连通块内BFS序最小的点，其一定存在一个父亲

我们运用反证法：令与$z$同一个连通块的BFS序最小点为$x$，我们找到任意一条$x$到$z$的路径$x\to a_1\to a_2\to \cdots \to a_k\to z$。找到其中任意一个BFS序满足$a_i>a_{i-1},a_i>a_{i+1}$的点，由上述结论，可知$dis(a_{i-1},a_{i+1})\le x$，故可以直接将$a_i$删除。我们发现删到最后，一定满足这个序列的BFS序是单调递增的。因此$z$一定存在至少一个直接与其连接的比其BFS序小的点。

那么我们只需要求出在原编号给定区间$[l,r]$中的$x$，存在多少个点满足没有父亲。我们可以处理出在两侧分别离$x$最近的，满足BFS序比$x$小的点是什么，记为$(u,v)$。那么$x$不含父亲当且仅当$u<l\le x\le r<v$。可以优化一波做一个简单的二维数点即可

原题解

其实跟我场上做法十分相似，应该类似csp的时候一样…推广一下就到正解了…但是当时混乱的一匹完全没大力推广呀…
图的连通块数一看就不好做，而森林的连通块数极其好做。就是没有往父亲连边的点的数量。并且通过链的部分分我们不难得到这个东西肯定与正解相关…
考虑将图转化为树，容易想到如果能将其转化为最小生成树就十分win了…开场的时候糊了几个结论直接用代表点构树发现都lose了…所以应该仍然观察这个图的性质。
将标号在$[L,R]$内的导出子图拿出来，建出他们的虚树。如果这个虚树没有新增点，那么每个点直接向虚树的父亲连边就一定是最小生成树了…否则考虑依次去掉点，每次去掉点一定至少有下方的两个点选择连向了他，否则直接将唯一的那个点继续往上连即可…我们可以简单地让下方每个点都选一个距离他最小的点连边，但是这样可能出现了重边/环/不会向上连边的情况。考虑钦定一个连边顺序使得不会出现环，将下方所有点按$dep$排序，每个点强行只往$de{p}_y<de{p}_x$或者$de{p}_y=de{p}_x$且$y<x$的$y$连边。考虑这样是否正确，显然至少有一个点会往上连边（如果上面仍然存在点），并且类似拓扑序，一定不会出现环。所以这样连出来仍然是一棵树。考虑正确性，将这些点抽出来的话显然类似一个扫把，这棵扫把的$MST$显然是可以这么直接做的…分是会向上还是往左右兄弟连边讨论可证
以下称基本条件为$de{p}_y<de{p}_x$或者$de{p}_y=de{p}_x$且$y<x$
所以现在只需要对于每个$x$，类似链的做法，求出最大的$l<x,dist(l,x)\le K$且满足基本条件的$l$，同样也求出最小的$r>x,dist(r,x)\le K$且满足基本条件的$r$，那么剩下来就是只有$[L,R]\in [l+1,r-1]$的时候会对这个询问产生$1$的贡献…是个二维数点简单问题
唯一的问题在于如何处理这个$l,r$，以$l$为例，将点分树建出来，按$dep$从小到大排序加入。每个点在当前$dep$全部加完之后询问，注意如果求$r$是加完之前询问。一个点往上暴力跳点分树考虑对当前分治中心的贡献，如果加入的点在分治中心在原树的子树内，那么可以直接用可持久化线段树加入，因为此时到分治中心的距离是单调不减的…否则在子树外，在子树外似乎是无法直接可持久化线段树暴力维护的…因为到分治中心的距离没有了单调性，但是考虑什么时候需要子树外的信息，显然就是询问点在分治中心的子树内。由于他到分治中心的距离是固定的，所以可以用一个类似$c+de{p}_{ask}$的形式来搞。这样只对$dep$在连续一段且在子树内的询问点有贡献，额外用一个简单的线段树来维护即可…
总复杂度$n{\log }^{2}n+q\log n$

Day2T1

每个函数的贡献都是$kx+b$的形式，其中$k$能让$x$绝对值不减，同时绝对值最多只会变化$15$。所以维护$[-225,+225]$内的可达性外加$\le -225$的$max,min$与$\ge 225$的$max,min$是什么，$O(1)$转移即可

Day2T2

学考完了。学考无聊的时候想出来了。
一个$DAG$去掉一棵外向树后剩下的应该是前向边和交错边。
考虑去掉这个外向树上一条链$a->b$后，如果这条链最底端的点$x$能被到达，显然就是存在一个$dep$最小的点$u{p}_x$满足从$u{p}_x$走到$x$不需要经过他们之间的边，且$de{p}_{u{p}_x}\le de{p}_a$
对于子树内的点，要么他们的$de{p}_{u{p}_y}\le de{p}_a$，要么他们到$b$中存在一个祖先$de{p}_{u{p}_{anc}}\le de{p}_a$。这么看来，我们只需要求出这个$u{p}_x$就可以算答案了
考虑求$u{p}_x$，按拓扑序转移。如果一条边是前向边，那么当前点的$u{p}_x$能对$u{p}_{pr{e}_x}$取$min$，否则这条边是交错边。设出发点为$pr{e}_x$，求出$LCA(pr{e}_x,x)$，那么从$LCA(pr{e}_x,x)$到$pr{e}_x$这段路径上的所有点的$pr{e}_x$均可以随便取。用$\log n$的数据结构随便维护一个向上的链最小值即可。这样的正确性可以通过考虑最后一条树边在哪里得出
求出了$u{p}_x$后，按$b$深度离线从大到小求答案。那么每次可以对一段$de{p}_{u{p}_y}\ge de{p}_{u{p}_{now}}$的$y$来修改。线段树维护$de{p}_{u{p}_x}=i$的点有多少个，那么每次先左右儿子线段树合并，然后相当于$cut$掉一条右链再在一个地方新增一条链，$\log n$询问即可
总复杂度$n\log n+q\log n$

Day2T3

首先手绘一下，冒泡排序的方式只与前缀最大值相关，每次将前面移到后一个的前面。于是可以大胆猜结论，答案只与前缀最大值相关。
打表发现大概形式长一个$(i+1)!\times (K+1{)}^i$的样子。反正只要知道前缀最大值个数就能算。还需要最后$K$个是前$K$大
于是可以有一个十分显然的$n{\log }^{2}n$的做法
考虑对树点分，将询问挂在他们点分树的$LCA$处
利用点分治能求出当前分治中心到所有点的单调栈，可以在上面二分弹栈并利用小trick做到$O(\log n)$弹出并$O(n{\log }^{2}n)$地维护所有点的可持久化单调栈
询问就直接合并就可以了
关于合法性，考虑维护最后一段极长上升连续序列。只需要这里面第$K$小比前面都大即可。利用点分同样不难在上界${\log }^{2}n$的时间内简单维护

补一个$n\log n$的做法，上面的点分可以用奇怪的技巧优化到$\log n$
大家看徐国王的博客吧！