IEEE 754浮点数表示及浮点数转换全解

DanXer

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于 2010-04-01 19:04:00 首次发布

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本文详细解析了浮点数的表示方法，包括单精度和双精度浮点数的构成，以及如何通过公式计算浮点数的具体值。还介绍了归一化偏置的概念及其在保证数值分布均匀性方面的作用。

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基本上我们记住几个公式就行了(蓝色字体公式)。

第一：浮点表示形式： N=|s| E | M | 。单精度：s=1位，E=8位，M=23位。双精度 s=1位，E=11位，M=52位，其中，E，M都为无符号数

第二：bias= $2^{k-1}-1$ ， bias是归一化偏置值，或模，代表指数E所能表达的最大值，k是E的位数。它的作用是将浮点数的值分布向0的方向靠拢，本来2^E是指数函数，函数值在E增大时急剧增大。非常不均匀。2^(E-bias)则使这个值进一步减小，在相同的大E时，函数值不会急剧增大，从而保证了浮点数的分布更均匀一点。实际上整个浮点数的分布都不是均匀的，E越接近于1跳跃越小。E=1和=0时的跳跃是相同的，都是最小精度。从e>M的位数开始，n的值将会以相邻两个浮点数（精度）>1的速度增加。E/e越大的，跳变越大。所以在此时最好不要用浮点数来存储，结果将会很不精确（1的数量级以上近似）。所以e=E-bias的作用就是在E较大时降低浮点数的分布密度。

第三：浮点数由这个公式计算得到（N->n）： $n=(-1)^{s}\times m\times 2^{e}$ ，或称浮点表示也可以由此公式反推出来(n->N)。

先看从n->N的过程:

整数和小数部分分别转化为二进制，然后合在一起。整数部分：除2取余法，从下往上数。小数部分：乘2取整法，从上往下数。如2.5=10.1，它并不是规范形式，规范要求m必须为1.M或0.M形式。所以必须先进行规格化。再求M，E。

分成3种情况:

将m转化n=1.M*2^e这种形式，又分两种情况，
1. 当 $e\geqslant 1-bias$ 时，如：1.01*2^1。对应于m=1.M，只存储归一化有效数字部分M，隐含整数位不存储，需要按照e=E-bias，调整指数E=e+bias（增加偏置）。如 $n=10.1=1.01\times 2^{1}=(-1)^{s}\times m\times 2^{e}$ ，然后得s=0,m=1.01=1.M, e=1。从而M=01(存储时需补齐后面的0)，e=1=E-bias, 所以E=1+bias=128。
2. 当e<1-bias时，应用特殊格式m=0.M格式，应按照m的格式重新调整 $n=(-1)^{s}\times m\times 2^{e}$ ，且使E=0, M转化为二进制存储，若位数不足，则溢出。如：5.877472e-39= $5.877472\times 10^{-39}\times 2^{126}\times 2^{-126}$ = $0.500000021\times 2^{-126}$ = $(0.1)_{2}\times 2^{-126}$ ,所以m=0.M，M=1, E=0。如果按照m=1.M格式，5.877472e-39= $(0.1)_{2}\times 2^{-126}$ = $(1.0)_{2}\times 2^{-127}$ ，将导致e=-127<1-bias。
特殊数：+∞：s=0，E=全1，M=全0；

-∞：s=1，E=全1，M=全0；

+0：s=0,E=全0，M=全0；

-0：s=1,E=全0，M=全0；

NaN（不是数）：s=1/0，E=全1，M=不全0；

看看从N->n的过程：

先看E，M，分别求的e，m，再运用n=....的公式计算最终值。也分为3种情况：

E=0, 分两种情况：
1. M<>全0，0.M=m格式，e=1-bias。 $n=(-1)^{s}\times m\times 2^{e}$ ，这里需要将m转化为10进制，使用我把它称之为加余除二法的方法（从2进制小数末位开始每位作为余数加到除数上（开始除数为0）依次除2所得最终结果，每次除完结束），或加权求和法（每位小数乘2的负幂次，再求和）。还可以将小数转化为整数*2^-o, 再用加余乘2法的方法（从2进制整数最高位开始每位作为余数加到乘数上（开始乘数为0）依次乘2所得最终结果，每次加完计算结束）。也可以用加权求和法。
2. M=全0， n=0；根据s，判断+/-0。
E>=1, 1.M=m，e=E-bias。 $n=(-1)^{s}\times m\times 2^{e}$ ，仍然需要将m转化为10进制，使用上面a所示方法。
E=全1，两种情况：
1. M=全0，n=∞，根据s，判断+/-∞。
2. M=不全0，n=NaN （不是一个数）

是不是很和谐呢！是不是很简单呢！这就是计算机科学家必须理解的问题。